Cho đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {3;\,\,0} \right)\) và \(B\left( {0;\, - 4} \right).\) Tìm tọa độ điểm \(M\) thuộc \(Oy\) sao cho diện tích \(\Delta MAB\) bằng \(6.\)  

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3; - 4} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}}  = 5.\)

Phương trình đường thẳng đi qua \(A\left( {3;\,\,0} \right)\) và\(B\left( {0; - 4} \right)\) là:

\(AB:\,\,\,\frac{{x - 3}}{{0 - 3}} = \frac{{y - 0}}{{ - 4 - 0}} \Leftrightarrow 4\left( {x - 3} \right) = 3y \Leftrightarrow 4x - 3y - 12 = 0.\)

Ta có \(M \in Oy \Rightarrow M\left( {0;\,\,\,{y_M}} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{\Delta MAB}} = \frac{1}{2}d\left( {M;\,\,AB} \right).AB = 6\\ \Leftrightarrow \frac{{\left| {4.0 - 3{y_M} - 12} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }}.5 = 12 \Leftrightarrow \left| {3{y_M} + 12} \right| = 12\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3{y_M} + 12 = 12\\3{y_M} + 12 =  - 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{y_M} = 0 \Rightarrow M\left( {0;\,\,0} \right)\,\,\,\\{y_M} =  - 8 \Rightarrow M\left( {0; - 8} \right)\,\,\,\end{array} \right.\end{array}\)