Đại cương về phương trình

Đáp án A : Phép biến đổi là tương đương và hai phương trình cùng có điều kiện xác định là \(x \ge 2\) nên A đúng.

Đáp án B: Phép bình phương hai vế chỉ là hệ quả nên B sai.

Đáp án C: Phép lược bỏ $\sqrt {x - 2} $ ở hai vế làm thay đổi điều kiện của phương trình dẫn đến xuất hiện nghiệm ngoại lai nên sai.

Đáp án D: Phép khử mẫu làm thay đổi điều kiện của phương trình dẫn đến xuất hiện nghiệm ngoại lai nên sai.

Ta có:

\(\sqrt {x + 2}  = 2x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x \ge 0\\x + 2 = 4{x^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x = \dfrac{{1 \pm \sqrt {33} }}{8}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{{1 + \sqrt {33} }}{8}\)

\(x + 2 = 4{x^2} \Leftrightarrow x = \dfrac{{1 \pm \sqrt {33} }}{8}\)

Do đó, $\sqrt {x + 2}  = 2x$ và $x + 2 = 4{x^2}$ không phải là cặp phương trình tương đương.

- Ta có \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {2{x^2} + mx - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\2{x^2} + mx - 2 = 0\end{array} \right..\)

Do hai phương trình tương đương nên \(x =  - 2\) cũng là nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\).

- Thay \(x =  - 2\) vào \(\left( 1 \right)\), ta được \(2{\left( { - 2} \right)^2} + m\left( { - 2} \right) - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 3\).

- Với \(m = 3\), ta có

\( \bullet \) \(\left( 1 \right)\) trở thành \(2{x^2} + 3x - 2 = 0 \Leftrightarrow x =  - 2\) hoặc \(x = \dfrac{1}{2}.\)

\( \bullet \) \(\left( 2 \right)\) trở thành \(2{x^3} + 7{x^2} + 4x - 4 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2}\left( {2x + 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x =  - 2\) hoặc \(x = \dfrac{1}{2}\).

Suy ra hai phương trình tương đương.

Vậy \(m = 3\) thỏa mãn.

Ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {mx - m + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\mx - m + 2 = 0\end{array} \right..\)

Do hai phương trình tương đương nên \(x = 1\) cũng là nghiệm của phương trình \(\left( 2 \right)\)

Thay \(x = 1\) vào \(\left( 2 \right)\), ta được \(\left( {m - 2} \right) - 3 + {m^2} - 15 = 0 \Leftrightarrow {m^2} + m - 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 5\\m = 4\end{array} \right..\)

Với \(m =  - 5\), ta có

\(\left( 1 \right)\) trở thành \( - 5{x^2} + 12x - 7 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{7}{5}\) hoặc \(x = 1\)

\(\left( 2 \right)\) trở thành \( - 7{x^2} - 3x + 10 = 0 \Leftrightarrow x = - \dfrac{{10}}{7}\) hoặc \(x = 1\)

Suy ra hai phương trình không tương đương

Với \(m = 4\), ta có

\(\left( 1 \right)\) trở thành \(4{x^2} - 6x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\) hoặc \(x = 1\)

\(\left( 2 \right)\) trở thành \(2{x^2} - 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\) hoặc \(x = 1\)

Suy ra hai phương trình tương đương.

Vậy \(m = 4\) thỏa mãn.

Xét đáp án A: $\sqrt {x - 2}  = 1 \Leftrightarrow x - 2 = 1$ nên $\sqrt {x - 2}  = 1 \Rightarrow x - 2 = 1$ và đáp án A đúng.

Xét đáp án B: Phương trình \(x - 1 = 0\) có tập nghiệm \(S = \left\{ 1 \right\}\) nhưng phương trình $\dfrac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} = 1$ vô nghiệm nên nó không thể là hệ quả của phương trình trước. B sai.

Xét đáp án C:

\(\left| {3x - 2} \right| = x - 3\)\( \Rightarrow {\left( {3x - 2} \right)^2} = {\left( {x - 3} \right)^2}\)\( \Rightarrow 9{x^2} - 12x + 4 = {x^2} - 6x + 9\)\( \Rightarrow 8{x^2} - 6x - 5 = 0\)

Do đó, phương trình \(8{x^2} - 6x - 5 = 0\) là hệ quả của phương trình \(\left| {3x - 2} \right| = x - 3\) nên C đúng.

Xét đáp án D: $\sqrt {x - 3}  = \sqrt {9 - 2x} $ \( \Rightarrow x - 3 = 9 - 2x\) \( \Rightarrow 3x - 12 = 0\) nên D đúng.

- Ta có \(2{x^2} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\).

Do đó, tập nghiệm của phương trình đã cho là \({S_0} = \left\{ {0;\dfrac{1}{2}} \right\}\)

Xét các đáp án:

Đáp án A. Ta có $2x - \dfrac{x}{{1 - x}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x \ne 0\\2x\left( {1 - x} \right) - x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

Do đó, tập nghiệm của phương trình là \({S_1} = \left\{ {0;\dfrac{1}{2}} \right\} \supset {S_0}\)

Đáp án B. Ta có $4{x^3} - x = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

Do đó, tập nghiệm của phương trình là \({S_2} = \left\{ { - \dfrac{1}{2};0;\dfrac{1}{2}} \right\} \supset {S_0}\)

Đáp án C. Ta có ${\left( {2{x^2} - x} \right)^2} + {\left( {x - 5} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} - x = 0\\x - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} - x = 0\\x = 5\end{array} \right.$ (vô nghiệm)

Do đó, phương trình vô nghiệm nên không phải hệ quả của phương trình đã cho.

Đáp án D. Ta có $2{x^3} + {x^2} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{1}{2}\\x =  - 1\end{array} \right.$

Do đó, tập nghiệm của phương trình là \({S_2} = \left\{ { - 1;0;\dfrac{1}{2}} \right\} \supset {S_0}\)

Ta có:

Phương trình \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\x = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 3\end{array} \right.\)

Do đó, tập nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\) là \({S_1} = \left\{ {2;3} \right\}\)

Phương trình \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ne 0\\x = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3\)

 Do đó, tập nghiệm của phương trình \(\left( 2 \right)\) là \({S_2} = \left\{ 3 \right\}\)

- Vì \({S_2} \subset {S_1}\) nên phương trình \(\left( 1 \right)\) là hệ quả của phương trình \(\left( 2 \right)\).

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x \ge 0\\2x - {x^2} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x \ge 0\\{x^2} - 2x \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right..$

Thử lại ta thấy cả \(x = 0\) và \(x = 2\) đều thỏa mãn phương trình.

Điều kiện: \(x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1.\)

Phương trình tương đương với $\left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 1 = 0\\\sqrt {x - 1}  = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  \pm 1\\x = 1\end{array} \right..$

Đối chiếu điều kiện, ta được nghiệm của phương trình đã cho là \(x = 1.\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\1 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\).

Thử lại \(x = 1\) thì phương trình không thỏa mãn phương trình.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\\begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\2 - x \ge 0\end{array}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = 2\).

Thử lại phương trình thấy $x = 2$ thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Điều kiện: $ - {x^2} + 6x - 9 \ge 0 \Leftrightarrow  - {\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow x = 3$.

Thử lại ta thấy \(x = 3\) thỏa mãn phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 3} \right)^2}\left( {5 - 3x} \right) \ge 0\\3x - 5 \ge 0\end{array} \right.\). \(\left( * \right)\)

Ta thấy \(x = 3\) thỏa mãn điều kiện \(\left( * \right)\).

Nếu $x \ne 3$ thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5 - 3x \ge 0}\\{3x - 5 \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \le \dfrac{5}{3}}\\{x \ge \dfrac{5}{3}}\end{array} \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{3}} \right.\).

Do đó điều kiện xác định của phương trình là $x = 3$ hoặc $x = \dfrac{5}{3}$.

Thay $x = 3$ và $x = \dfrac{5}{3}$ vào phương trình thấy chỉ có $x = 3$ thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Điều kiện: \(x \ge  - 1\)

Ta có \(x = - 1\) là một nghiệm.

Nếu \(x > - 1\) thì \(\sqrt {x + 1} > 0\)

Do đó phương trình tương đương \({x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\) hoặc \(x = 2\)

Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là \(x =  - 1\), \(x = 2\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.

Với \(x = 2\) thì \(\dfrac{{16}}{{{2^3}}} + 2 - 4 = 0\) đúng nên \(x = 2\) là nghiệm của phương trình.