Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để cặp phương trình sau tương đương:

$m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 2 = 0$ $\left( 1 \right)$ và $\left( {m - 2} \right){x^2} - 3x + {m^2} - 15 = 0$ $\left( 2 \right)$

Ta có $\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {mx - m + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\mx - m + 2 = 0\end{array} \right..$

Do hai phương trình tương đương nên $x = 1$ cũng là nghiệm của phương trình $\left( 2 \right)$

Thay $x = 1$ vào $\left( 2 \right)$, ta được $\left( {m - 2} \right) - 3 + {m^2} - 15 = 0 \Leftrightarrow {m^2} + m - 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 5\\m = 4\end{array} \right..$

Với $m =  - 5$, ta có

$\left( 1 \right)$ trở thành $- 5{x^2} + 12x - 7 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{7}{5}$ hoặc $x = 1$

$\left( 2 \right)$ trở thành $- 7{x^2} - 3x + 10 = 0 \Leftrightarrow x = - \dfrac{{10}}{7}$ hoặc $x = 1$

Suy ra hai phương trình không tương đương

Với $m = 4$, ta có

$\left( 1 \right)$ trở thành $4{x^2} - 6x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}$ hoặc $x = 1$

$\left( 2 \right)$ trở thành $2{x^2} - 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}$ hoặc $x = 1$

Suy ra hai phương trình tương đương.

Vậy $m = 4$ thỏa mãn.