Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để cặp phương trình sau tương đương:

\(m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 2 = 0\) \(\left( 1 \right)\) và \(\left( {m - 2} \right){x^2} - 3x + {m^2} - 15 = 0\) \(\left( 2 \right)\)

Ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {mx - m + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\mx - m + 2 = 0\end{array} \right..\)

Do hai phương trình tương đương nên \(x = 1\) cũng là nghiệm của phương trình \(\left( 2 \right)\)

Thay \(x = 1\) vào \(\left( 2 \right)\), ta được \(\left( {m - 2} \right) - 3 + {m^2} - 15 = 0 \Leftrightarrow {m^2} + m - 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 5\\m = 4\end{array} \right..\)

Với \(m =  - 5\), ta có

\(\left( 1 \right)\) trở thành \( - 5{x^2} + 12x - 7 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{7}{5}\) hoặc \(x = 1\)

\(\left( 2 \right)\) trở thành \( - 7{x^2} - 3x + 10 = 0 \Leftrightarrow x = - \dfrac{{10}}{7}\) hoặc \(x = 1\)

Suy ra hai phương trình không tương đương

Với \(m = 4\), ta có

\(\left( 1 \right)\) trở thành \(4{x^2} - 6x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\) hoặc \(x = 1\)

\(\left( 2 \right)\) trở thành \(2{x^2} - 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\) hoặc \(x = 1\)

Suy ra hai phương trình tương đương.

Vậy \(m = 4\) thỏa mãn.