Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) trong khoảng \(\left( { - 2019;2019} \right)\) để phương trình: \(2{\left( {{x^2} + 2x} \right)^2} - \left( {4m - 3} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right) + 1 - 2m = 0\) có đúng \(1\) nghiệm thuộc \(\left[ { - 3;0} \right].\)

Ta có: \(\Delta  = {\left( {4m - 3} \right)^2} - 4.2.\left( {1 - 2m} \right) = {\left( {4m - 1} \right)^2}\)

\(2{\left( {{x^2} + 2x} \right)^2} - \left( {4m - 3} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right) + 1 - 2m = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 2x = \dfrac{1}{2}{\rm{         }}\left( 1 \right)\\{x^2} + 2x = 2m - 1{\rm{  }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} + 2x - \dfrac{1}{2} = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 2 + \sqrt 6 }}{2} \notin \left[ { - 3;{\rm{ }}0} \right]\\x = \dfrac{{ - 2 - \sqrt 6 }}{2} \in \left[ { - 3;{\rm{ }}0} \right]\end{array} \right.\)

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} = 2m\). Phương trình đã cho có đúng \(1\) nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - 3;0} \right]\) khi và chỉ khi phương trình \(\left( 2 \right)\) có nghiệm nhưng không thuộc đoạn \(\left[ { - 3;0} \right]\) hoặc vô nghiệm.

Xét \(\left( 2 \right)\), nếu \(m < 0\) thì \(\left( 2 \right)\) vô nghiệm (thỏa mãn yêu cầu).

+) Nếu \(m = 0\) thì \(\left( 2 \right)\) có nghiệm duy nhất \(x =  - 1 \in \left[ { - 3;0} \right]\) (không thỏa yêu cầu).

+) Nếu \(m > 0\) thì \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1} =  - 1 - 2\sqrt m  <  - 1 + 2\sqrt m  = {x_2}\) nên \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm không thuộc \(\left[ { - 3;0} \right]\) nếu \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 - \sqrt {2m}  <  - 3\\ - 1 + \sqrt {2m}  > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 2\\m > \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2\)

Vậy \(\left[ \begin{array}{l}m < 0\\m > 2\end{array} \right.\).

Mà \(m \in \left( { - 2019;2019} \right)\) và \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { - 2018; - 2017;...; - 1;3;4;...;2018} \right\}\).

Số các giá trị của \(m\) thỏa mãn bài toán là \(2018 + 2016 = 4034\).