Một số phương trình bậc ba, bậc bốn quy về bậc nhất, bậc hai

Đặt $t = {x^2}\;\;\left( {t \ge 0} \right)$

Phương trình $\left( 1 \right)$ thành $- {t^2} - 2\left( {\sqrt 2  - 1} \right)t + \left( {3 - 2\sqrt 2 } \right) = 0$$\left( 2 \right)$

Phương trình $\left( 2 \right)$ có $a.c = \left( { - 1} \right)\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right) < 0$

Suy ra phương trình $\left( 2 \right)$ có $2$ nghiệm trái dấu

Suy ra phương trình ban đầu có $2$ nghiệm phân biệt.

Đặt $t = {x^2}\;\;\left( {t \ge 0} \right)$

Phương trình (1) thành $\sqrt 2 .{t^2} - 2\left( {\sqrt 2  + \sqrt 3 } \right)t + \sqrt {12}  = 0$$\left( 2 \right)$

Ta có $\Delta ' = 5 + 2\sqrt 6  - 2\sqrt 6  = 5$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 5 > 0\\ - \dfrac{{ - 2\left( {\sqrt 2  + \sqrt 3 } \right)}}{{\sqrt 2 }} =  - \dfrac{b}{a} > 0\\\dfrac{{\sqrt {12} }}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{c}{a} > 0\end{array} \right.$

Suy ra phương trình $\left( 2 \right)$ có $2$  nghiệm dương phân biệt ${t_{1,2}} = \dfrac{{\sqrt 2  + \sqrt 3  \pm \sqrt 5 }}{{\sqrt 2 }}$

Vậy phương trình $\left( 1 \right)$ có $4$  nghiệm ${x_{1,2}} =  \pm \sqrt {\dfrac{{\sqrt 2  + \sqrt 3  + \sqrt 5 }}{{\sqrt 2 }}} ,$ ${x_{3,4}}= \pm \sqrt {\dfrac{{\sqrt 2  + \sqrt 3  - \sqrt 5 }}{{\sqrt 2 }}}$

Đặt $t = {x^2}\;\;\left( {t \ge 0} \right)$

Phương trình $\left( 1 \right)$ thành ${t^2} + t + m = 0\,\,\,\left( 2 \right)$

Phương trình $\left( 1 \right)$vô nghiệm

$\Leftrightarrow$ phương trình $\left( 2 \right)$vô nghiệm hoặc phương trình$\left( 2 \right)$ có 2 nghiệm âm (có thể là nghiệm kép âm)

$\Leftrightarrow \Delta  < 0 \cup \left\{ \begin{array}{l}\Delta  \ge 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow 1 - 4m < 0 \cup \left\{ \begin{array}{l}1 - 4m \ge 0\\ - 1 < 0\\m > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow m > \dfrac{1}{4} \cup \left\{ \begin{array}{l}m \le \dfrac{1}{4}\\m > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow m > 0$.

Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow m \le 0$.

Ta có

$- {x^4} + \left( {\sqrt 2  - \sqrt 3 } \right){x^2} = 0$$\Leftrightarrow {x^2}\left( { - {x^2} + \sqrt 2  - \sqrt 3 } \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 0\\{x^2} = \sqrt 2  - \sqrt 3 \;\;\left( {vl} \right)\end{array} \right.$$\Leftrightarrow {x^2} = 0$$\Leftrightarrow x = 0$.

Đặt $t = {x^2}\;\;\left( {t \ge 0} \right)$

Phương trình $\left( 1 \right)$ thành ${t^2} - 2005t - 13 = 0$   $\left( 2 \right)$

Phương trình $\left( 2 \right)$ có $a.c = 1.( - 13) < 0$

Suy ra phương trình $\left( 2 \right)$ có 2 nghiệm trái dấu

Do đó phương trình $\left( 1 \right)$ có một nghiệm âm và một nghiệm dương.

Ta có: $\Delta  = {\left( {4m - 1} \right)^2} - 4.2.\left( {2m-1} \right) = {\left( {4m - 3} \right)^2}$

$2{\left( {{x^2} + 2x} \right)^2} - \left( {4m - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right) + 2m -1 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 2x = \dfrac{1}{2}{\rm{         }}\left( 1 \right)\\{x^2} + 2x = 2m - 1{\rm{  }}\left( 2 \right)\end{array} \right.$

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} + 2x - \dfrac{1}{2} = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 2 + \sqrt 6 }}{2} \notin \left[ { - 3;{\rm{ }}0} \right]\\x = \dfrac{{ - 2 - \sqrt 6 }}{2} \in \left[ { - 3;{\rm{ }}0} \right]\end{array} \right.$

Do đó $(1)$ chỉ có $1$ nghiệm thuộc $[-3;0]$.

Để phương trình đã cho có $3$ nghiệm thuộc đoạn $\left[ { - 3;{\rm{ }}0} \right]$ thì phương trình $\left( 2 \right)$ phải có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ { - 3;{\rm{ }}0} \right]$ và hai nghiệm này phải khác $\dfrac{{ - 2 - \sqrt 6 }}{2}$

$\left( 2 \right) \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} = 2m$. 

Phương trình $\left( 2 \right)$ có hai nghiệm phân biệt khác $\dfrac{{ - 2 - \sqrt 6 }}{2}$ và thuộc đoạn $\left[ { - 3;{\rm{ }}0} \right]$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m > 0\\{\left( {\dfrac{{ - 2 - \sqrt 6 }}{2} + 1} \right)^2} \ne 2m\\ - 3 \le  - 1 + \sqrt {2m}  \le 0\\ - 3 \le  - 1 - \sqrt {2m}  \le 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m \ne \dfrac{3}{4}\\m \le \dfrac{1}{2}\\m \le 2\end{array} \right.$

Không có giá trị nguyên nào của $m$ thỏa mãn.

Ta có : ${x^2} + \dfrac{{25{x^2}}}{{{{\left( {x + 5} \right)}^2}}} = 11$$\Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{x + 5}}\left( {x + 5 + \dfrac{{25}}{{x + 5}}} \right) = 11$$\Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{x + 5}}.\dfrac{{{x^2} + 10x + 50}}{{x + 5}} = 11$$\Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{x + 5}}\left( {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 5}} + 10} \right) = 11$$\Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 5}}} \right)^2} + 10\dfrac{{{x^2}}}{{x + 5}} - 11 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2}}}{{x + 5}} = 1\\\dfrac{{{x^2}}}{{x + 5}} =  - 11\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - x - 5 = 0\\{x^2} + 11x + 55 = 0{\rm{  }}\left( {{\rm{vn}}} \right)\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{1 - \sqrt {21} }}{2} \approx  - 1,79\\x = \dfrac{{1 + \sqrt {21} }}{2} \approx 2,79\end{array} \right.$.

Điều kiện $x \ne 0$

Đặt $t = x + \dfrac{1}{x}$ suy ra

${t^2} = {x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}} + 2 \ge 2 + 2 = 4$ $\Rightarrow \left| t \right| \ge 2$ hay $t \le  - 2$ hoặc $t \ge 2$.

Phương trình đã cho trở thành

${t^2} - 2mt - 1 + 2m = 0$, phương trình này luôn có hai nghiệm là ${t_1} = 1$; ${t_2} = 2m - 1$

Theo yêu cầu bài toán ta suy ra $\left[ \begin{array}{l}2m - 1 \ge 2\\2m - 1 \le  - 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge \dfrac{3}{2}\\m \le  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

Ta có: ${x^2} + \dfrac{4}{{{x^2}}} - 4\left( {x - \dfrac{2}{x}} \right) + k - 1 = 0$$\Leftrightarrow {\left( {x - \dfrac{2}{x}} \right)^2} - 4\left( {x - \dfrac{2}{x}} \right) + k + 3 = 0{\rm{  }}\left( 1 \right)$

Đặt $t = x - \dfrac{2}{x}$ hay ${x^2} - tx - 2 = 0$, phương trình trở thành ${t^2} - 4t + k + 3 = 0{\rm{  }}\left( 2 \right)$

Nhận xét: với mỗi nghiệm $t$ của phương trình $\left( 2 \right)$ cho ta hai nghiệm trái dấu của phương trình $\left( 1 \right)$

Ta có :

$\Delta ' = 4 - \left( {k + 3} \right) = 1 - k \Rightarrow$ phương trình $\left( 2 \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${t_1} = 2 - \sqrt {1 - k} ,{t_2} = 2 + \sqrt {1 - k}$  với $k < 1$

+) Với ${t_1} = 2 - \sqrt {1 - k}$ thì phương trình ${x^2} - \left( {2 - \sqrt {1 - k} } \right)x - 2 = 0$ có $1$ nghiệm $x > 1$ $\Leftrightarrow af\left( 1 \right) < 0$ $\Leftrightarrow {1^2} - \left( {2 - \sqrt {1 - k} } \right).1 - 2 < 0$ $\Leftrightarrow k >  - 8$

+) Với ${t_2} = 2 + \sqrt {1 - k}$ thì phương trình ${x^2} - \left( {2 + \sqrt {1 - k} } \right)x - 2 = 0$ có $1$ nghiệm $x > 1$ $\Leftrightarrow af\left( 1 \right) < 0$ $\Leftrightarrow {1^2} - \left( {2 + \sqrt {1 - k} } \right).1 - 2 < 0$$\Leftrightarrow  - 3 - \sqrt {1 - k}  < 0$  (luôn đúng với $k < 1$ )

Vậy kết hợp điều kiện $k < 1$ ta được $- 8 < k < 1$

Đặt $t = {x^2} + 2x + 4 = {\left( {x + 1} \right)^2} + 3 \ge 3$, phương trình trở thành

${t^2} - 2mt + 4m - 1 = 0{\rm{  }}\left( 2 \right)$

Nhận xét: Ứng với mỗi nghiệm $t > 3$ của phương trình $\left( 2 \right)$ cho ta hai nghiệm của phương trình  $\left( 1 \right)$. Do đó phương trình $\left( 1 \right)$ có đúng hai nghiệm khi phương trình $\left( 2 \right)$ có đúng một nghiệm $t > 3$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 0\\x =  - \dfrac{b}{2a} > 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\af\left( 3 \right) < 0\end{array} \right.\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4m + 1 = 0\\m > 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4m + 1 > 0\\1.\left( {{3^2} - 2m.3 + 4m - 1} \right) < 0\end{array} \right.\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2 + \sqrt 3 \\m > 4\end{array} \right.$

$\dfrac{{2 - m - x}}{{x + 1}} = \dfrac{{x - m}}{2}$

Điều kiện: $x \ne  - 1$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {x - m} \right)\left( {x + 1} \right) = 2\left( {2 - m - x} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - mx + x - m = 4 - 2m - 2x\\ \Leftrightarrow {x^2} + \left( {3 - m} \right)x + m - 4 = 0\end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{l}\Delta  = {b^2} - 4ac\\\, = {\left( {3 - m} \right)^2} - 4\left( {m - 4} \right)\\\,\,\,\, = 9 - 6m + {m^2} - 4m + 16\\= {m^2} - 10m + 25\\\,\,\,\, = {\left( {m - 5} \right)^2}\end{array}$

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\f\left( { - 1} \right) \ne 0\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 5} \right)^2} > 0\\1 + \left( {3 - m} \right)\left( { - 1} \right) + m - 4 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 5\\1 + m - 3 + m - 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 5\\m \ne 3\end{array} \right.\end{array}$

Mà $m \in \left[ {1;10} \right];m \in \mathbb{Z}$$\Rightarrow m \in \left\{ {1;2;4;6;7;8;9;10} \right\}$

Vậy để phương trình $\dfrac{{2 - m - x}}{{x + 1}} = \dfrac{{x - m}}{2}$ có hai nghiệm phân biệt thì $m \in \left\{ {1;2;4;6;7;8;9;10} \right\}$.