Phương trình \( - {x^4} - 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right){x^2} + \left( {3 - 2\sqrt 2 } \right) = 0\) có bao nhiêu nghiệm?
Đặt \(t = {x^2}\;\;\left( {t \ge 0} \right)\)
Phương trình \(\left( 1 \right)\) thành \( - {t^2} - 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)t + \left( {3 - 2\sqrt 2 } \right) = 0\)\(\left( 2 \right)\)
Phương trình \(\left( 2 \right)\) có \(a.c = \left( { - 1} \right)\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right) < 0\)
Suy ra phương trình \(\left( 2 \right)\) có $2$ nghiệm trái dấu
Suy ra phương trình ban đầu có $2$ nghiệm phân biệt.
Phương trình \(\sqrt 2 {x^4} - 2\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right){x^2} + \sqrt {12} = 0\)
Đặt \(t = {x^2}\;\;\left( {t \ge 0} \right)\)
Phương trình (1) thành \(\sqrt 2 .{t^2} - 2\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)t + \sqrt {12} = 0\)\(\left( 2 \right)\)
Ta có \(\Delta ' = 5 + 2\sqrt 6 - 2\sqrt 6 = 5\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 5 > 0\\ - \dfrac{{ - 2\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)}}{{\sqrt 2 }} = - \dfrac{b}{a} > 0\\\dfrac{{\sqrt {12} }}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{c}{a} > 0\end{array} \right.\)
Suy ra phương trình \(\left( 2 \right)\) có $2$ nghiệm dương phân biệt \({t_{1,2}} = \dfrac{{\sqrt 2 + \sqrt 3 \pm \sqrt 5 }}{{\sqrt 2 }}\)
Vậy phương trình \(\left( 1 \right)\) có \(4\) nghiệm \({x_{1,2}} = \pm \sqrt {\dfrac{{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 5 }}{{\sqrt 2 }}} ,\) \({x_{3,4}}= \pm \sqrt {\dfrac{{\sqrt 2 + \sqrt 3 - \sqrt 5 }}{{\sqrt 2 }}} \)
Cho phương trình\({x^4} + {x^2} + m = 0\). Khẳng định nào sau đây là đúng:
Đặt \(t = {x^2}\;\;\left( {t \ge 0} \right)\)
Phương trình \(\left( 1 \right)\) thành \({t^2} + t + m = 0\,\,\,\left( 2 \right)\)
Phương trình \(\left( 1 \right)\)vô nghiệm
\( \Leftrightarrow \) phương trình \(\left( 2 \right)\)vô nghiệm hoặc phương trình\(\left( 2 \right)\) có 2 nghiệm âm (có thể là nghiệm kép âm)
\( \Leftrightarrow \Delta < 0 \cup \left\{ \begin{array}{l}\Delta \ge 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow 1 - 4m < 0 \cup \left\{ \begin{array}{l}1 - 4m \ge 0\\ - 1 < 0\\m > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow m > \dfrac{1}{4} \cup \left\{ \begin{array}{l}m \le \dfrac{1}{4}\\m > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow m > 0\).
Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow m \le 0\).
Phương trình \( - {x^4} + \left( {\sqrt 2 - \sqrt 3 } \right){x^2} = 0\) có:
Ta có
$ - {x^4} + \left( {\sqrt 2 - \sqrt 3 } \right){x^2} = 0$$ \Leftrightarrow {x^2}\left( { - {x^2} + \sqrt 2 - \sqrt 3 } \right) = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 0\\{x^2} = \sqrt 2 - \sqrt 3 \;\;\left( {vl} \right)\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow {x^2} = 0$$ \Leftrightarrow x = 0$.
Phương trình sau đây có bao nhiêu nghiệm âm:\({x^4} - 2005{x^2} - 13 = 0\)
Đặt \(t = {x^2}\;\;\left( {t \ge 0} \right)\)
Phương trình \(\left( 1 \right)\) thành \({t^2} - 2005t - 13 = 0\) \(\left( 2 \right)\)
Phương trình \(\left( 2 \right)\) có \(a.c = 1.( - 13) < 0\)
Suy ra phương trình \(\left( 2 \right)\) có 2 nghiệm trái dấu
Do đó phương trình \(\left( 1 \right)\) có một nghiệm âm và một nghiệm dương.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình:\(2{\left( {{x^2} + 2x} \right)^2} - \left( {4m - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right) + 2m -1= 0\) có đúng $3$ nghiệm thuộc \(\left[ { - 3;0} \right].\)
Ta có: \(\Delta = {\left( {4m - 1} \right)^2} - 4.2.\left( {2m-1} \right) = {\left( {4m - 3} \right)^2}\)
\(2{\left( {{x^2} + 2x} \right)^2} - \left( {4m - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right) + 2m -1 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 2x = \dfrac{1}{2}{\rm{ }}\left( 1 \right)\\{x^2} + 2x = 2m - 1{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} + 2x - \dfrac{1}{2} = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 2 + \sqrt 6 }}{2} \notin \left[ { - 3;{\rm{ }}0} \right]\\x = \dfrac{{ - 2 - \sqrt 6 }}{2} \in \left[ { - 3;{\rm{ }}0} \right]\end{array} \right.\)
Do đó $(1)$ chỉ có $1$ nghiệm thuộc $[-3;0]$.
Để phương trình đã cho có $3$ nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - 3;{\rm{ }}0} \right]\) thì phương trình \(\left( 2 \right)\) phải có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\left[ { - 3;{\rm{ }}0} \right]\) và hai nghiệm này phải khác $\dfrac{{ - 2 - \sqrt 6 }}{2}$
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} = 2m\).
Phương trình \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác $\dfrac{{ - 2 - \sqrt 6 }}{2}$ và thuộc đoạn \(\left[ { - 3;{\rm{ }}0} \right]\)
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m > 0\\{\left( {\dfrac{{ - 2 - \sqrt 6 }}{2} + 1} \right)^2} \ne 2m\\ - 3 \le - 1 + \sqrt {2m} \le 0\\ - 3 \le - 1 - \sqrt {2m} \le 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m \ne \dfrac{3}{4}\\m \le \dfrac{1}{2}\\m \le 2\end{array} \right.$
Không có giá trị nguyên nào của \(m\) thỏa mãn.
Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình : ${x^2} + \dfrac{{25{x^2}}}{{{{\left( {x + 5} \right)}^2}}} = 11$ gần nhất với số nào dưới đây?
Ta có : ${x^2} + \dfrac{{25{x^2}}}{{{{\left( {x + 5} \right)}^2}}} = 11$$ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{x + 5}}\left( {x + 5 + \dfrac{{25}}{{x + 5}}} \right) = 11$\( \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{x + 5}}.\dfrac{{{x^2} + 10x + 50}}{{x + 5}} = 11\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{x + 5}}\left( {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 5}} + 10} \right) = 11\)$ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{{x + 5}}} \right)^2} + 10\dfrac{{{x^2}}}{{x + 5}} - 11 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2}}}{{x + 5}} = 1\\\dfrac{{{x^2}}}{{x + 5}} = - 11\end{array} \right.$\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - x - 5 = 0\\{x^2} + 11x + 55 = 0{\rm{ }}\left( {{\rm{vn}}} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{1 - \sqrt {21} }}{2} \approx - 1,79\\x = \dfrac{{1 + \sqrt {21} }}{2} \approx 2,79\end{array} \right.\).
Định $m$ để phương trình :\(\left( {{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right) - 2m\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) + 1 + 2m = 0\) có nghiệm
Điều kiện $x \ne 0$
Đặt \(t = x + \dfrac{1}{x}\) suy ra
\({t^2} = {x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}} + 2 \ge 2 + 2 = 4\) \( \Rightarrow \left| t \right| \ge 2\) hay $t \le - 2$ hoặc $t \ge 2$.
Phương trình đã cho trở thành
\({t^2} - 2mt - 1 + 2m = 0\), phương trình này luôn có hai nghiệm là ${t_1} = 1$; ${t_2} = 2m - 1$
Theo yêu cầu bài toán ta suy ra $\left[ \begin{array}{l}2m - 1 \ge 2\\2m - 1 \le - 2\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge \dfrac{3}{2}\\m \le - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$
Định $k$ để phương trình: ${x^2} + \dfrac{4}{{{x^2}}} - 4\left( {x - \dfrac{2}{x}} \right) + k - 1 = 0$ có đúng hai nghiệm lớn hơn $1$.
Ta có: ${x^2} + \dfrac{4}{{{x^2}}} - 4\left( {x - \dfrac{2}{x}} \right) + k - 1 = 0$\( \Leftrightarrow {\left( {x - \dfrac{2}{x}} \right)^2} - 4\left( {x - \dfrac{2}{x}} \right) + k + 3 = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\)
Đặt \(t = x - \dfrac{2}{x}\) hay \({x^2} - tx - 2 = 0\), phương trình trở thành \({t^2} - 4t + k + 3 = 0{\rm{ }}\left( 2 \right)\)
Nhận xét: với mỗi nghiệm \(t\) của phương trình \(\left( 2 \right)\) cho ta hai nghiệm trái dấu của phương trình \(\left( 1 \right)\)
Ta có :
\(\Delta ' = 4 - \left( {k + 3} \right) = 1 - k \Rightarrow \) phương trình \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({t_1} = 2 - \sqrt {1 - k} ,{t_2} = 2 + \sqrt {1 - k} \) với \(k < 1\)
+) Với \({t_1} = 2 - \sqrt {1 - k} \) thì phương trình \({x^2} - \left( {2 - \sqrt {1 - k} } \right)x - 2 = 0\) có \(1\) nghiệm \(x > 1\) \( \Leftrightarrow af\left( 1 \right) < 0\) \( \Leftrightarrow {1^2} - \left( {2 - \sqrt {1 - k} } \right).1 - 2 < 0\) \( \Leftrightarrow k > - 8\)
+) Với \({t_2} = 2 + \sqrt {1 - k} \) thì phương trình \({x^2} - \left( {2 + \sqrt {1 - k} } \right)x - 2 = 0\) có \(1\) nghiệm \(x > 1\) \( \Leftrightarrow af\left( 1 \right) < 0\) \( \Leftrightarrow {1^2} - \left( {2 + \sqrt {1 - k} } \right).1 - 2 < 0\)\( \Leftrightarrow - 3 - \sqrt {1 - k} < 0\) (luôn đúng với \(k < 1\) )
Vậy kết hợp điều kiện \(k < 1\) ta được \( - 8 < k < 1\)
Tìm $m$ để phương trình: ${\left( {{x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}4} \right)^2}-{\rm{ }}2m\left( {{x^2} + 2x + 4} \right) + 4m-1 = 0$ có đúng hai nghiệm.
Đặt \(t = {x^2} + 2x + 4 = {\left( {x + 1} \right)^2} + 3 \ge 3\), phương trình trở thành
\({t^2} - 2mt + 4m - 1 = 0{\rm{ }}\left( 2 \right)\)
Nhận xét: Ứng với mỗi nghiệm \(t > 3\) của phương trình \(\left( 2 \right)\) cho ta hai nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\). Do đó phương trình \(\left( 1 \right)\) có đúng hai nghiệm khi phương trình \(\left( 2 \right)\) có đúng một nghiệm \(t > 3\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 0\\x = - \dfrac{b}{2a} > 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\af\left( 3 \right) < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4m + 1 = 0\\m > 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4m + 1 > 0\\1.\left( {{3^2} - 2m.3 + 4m - 1} \right) < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2 + \sqrt 3 \\m > 4\end{array} \right.\)
Trong \(\left[ {1;10} \right]\) có bao nhiêu giá trị của \(m\) để phương trình \(\dfrac{{2 - m - x}}{{x + 1}} = \dfrac{{x - m}}{2}\) có hai nghiệm phân biệt?
\(\dfrac{{2 - m - x}}{{x + 1}} = \dfrac{{x - m}}{2}\)
Điều kiện: \(x \ne - 1\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {x - m} \right)\left( {x + 1} \right) = 2\left( {2 - m - x} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - mx + x - m = 4 - 2m - 2x\\ \Leftrightarrow {x^2} + \left( {3 - m} \right)x + m - 4 = 0\end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\Delta = {b^2} - 4ac\\\, = {\left( {3 - m} \right)^2} - 4\left( {m - 4} \right)\\\,\,\,\, = 9 - 6m + {m^2} - 4m + 16\\= {m^2} - 10m + 25\\\,\,\,\, = {\left( {m - 5} \right)^2}\end{array}\)
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\f\left( { - 1} \right) \ne 0\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 5} \right)^2} > 0\\1 + \left( {3 - m} \right)\left( { - 1} \right) + m - 4 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 5\\1 + m - 3 + m - 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 5\\m \ne 3\end{array} \right.\end{array}\)
Mà \(m \in \left[ {1;10} \right];m \in \mathbb{Z}\)\( \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;4;6;7;8;9;10} \right\}\)
Vậy để phương trình \(\dfrac{{2 - m - x}}{{x + 1}} = \dfrac{{x - m}}{2}\) có hai nghiệm phân biệt thì \(m \in \left\{ {1;2;4;6;7;8;9;10} \right\}\).
