Trong \(\left[ {1;10} \right]\) có bao nhiêu giá trị của \(m\) để phương trình \(\dfrac{{2 - m - x}}{{x + 1}} = \dfrac{{x - m}}{2}\) có hai nghiệm phân biệt?

\(\dfrac{{2 - m - x}}{{x + 1}} = \dfrac{{x - m}}{2}\)

Điều kiện: \(x \ne  - 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {x - m} \right)\left( {x + 1} \right) = 2\left( {2 - m - x} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - mx + x - m = 4 - 2m - 2x\\ \Leftrightarrow {x^2} + \left( {3 - m} \right)x + m - 4 = 0\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta  = {b^2} - 4ac\\\, = {\left( {3 - m} \right)^2} - 4\left( {m - 4} \right)\\\,\,\,\, = 9 - 6m + {m^2} - 4m + 16\\= {m^2} - 10m + 25\\\,\,\,\, = {\left( {m - 5} \right)^2}\end{array}\)

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\f\left( { - 1} \right) \ne 0\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 5} \right)^2} > 0\\1 + \left( {3 - m} \right)\left( { - 1} \right) + m - 4 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 5\\1 + m - 3 + m - 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 5\\m \ne 3\end{array} \right.\end{array}\)

Mà \(m \in \left[ {1;10} \right];m \in \mathbb{Z}\)\( \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;4;6;7;8;9;10} \right\}\)

Vậy để phương trình \(\dfrac{{2 - m - x}}{{x + 1}} = \dfrac{{x - m}}{2}\) có hai nghiệm phân biệt thì \(m \in \left\{ {1;2;4;6;7;8;9;10} \right\}\).