Định $k$ để phương trình: ${x^2} + \dfrac{4}{{{x^2}}} - 4\left( {x - \dfrac{2}{x}} \right) + k - 1 = 0$ có đúng hai nghiệm lớn hơn $1$.

Ta có: ${x^2} + \dfrac{4}{{{x^2}}} - 4\left( {x - \dfrac{2}{x}} \right) + k - 1 = 0$\( \Leftrightarrow {\left( {x - \dfrac{2}{x}} \right)^2} - 4\left( {x - \dfrac{2}{x}} \right) + k + 3 = 0{\rm{  }}\left( 1 \right)\)

Đặt \(t = x - \dfrac{2}{x}\) hay \({x^2} - tx - 2 = 0\), phương trình trở thành \({t^2} - 4t + k + 3 = 0{\rm{  }}\left( 2 \right)\)

Nhận xét: với mỗi nghiệm \(t\) của phương trình \(\left( 2 \right)\) cho ta hai nghiệm trái dấu của phương trình \(\left( 1 \right)\)

Ta có :

\(\Delta ' = 4 - \left( {k + 3} \right) = 1 - k \Rightarrow \) phương trình \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({t_1} = 2 - \sqrt {1 - k} ,{t_2} = 2 + \sqrt {1 - k} \)  với \(k < 1\)

+) Với \({t_1} = 2 - \sqrt {1 - k} \) thì phương trình \({x^2} - \left( {2 - \sqrt {1 - k} } \right)x - 2 = 0\) có \(1\) nghiệm \(x > 1\) \( \Leftrightarrow af\left( 1 \right) < 0\) \( \Leftrightarrow {1^2} - \left( {2 - \sqrt {1 - k} } \right).1 - 2 < 0\) \( \Leftrightarrow k >  - 8\)

+) Với \({t_2} = 2 + \sqrt {1 - k} \) thì phương trình \({x^2} - \left( {2 + \sqrt {1 - k} } \right)x - 2 = 0\) có \(1\) nghiệm \(x > 1\) \( \Leftrightarrow af\left( 1 \right) < 0\) \( \Leftrightarrow {1^2} - \left( {2 + \sqrt {1 - k} } \right).1 - 2 < 0\)\( \Leftrightarrow  - 3 - \sqrt {1 - k}  < 0\)  (luôn đúng với \(k < 1\) )

Vậy kết hợp điều kiện \(k < 1\) ta được \( - 8 < k < 1\)