Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \({\left( {{x^2} + 6x + 10} \right)^2} + m = 10{\left( {x + 3} \right)^2}\) có 4 nghiệm phân biệt?
TXĐ: \(D = \mathbb{R}.\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\left( {{x^2} + 6x + 10} \right)^2} + m = 10{\left( {x + 3} \right)^2}\,\,\,\,\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 6x + 9 + 1} \right)^2} - 10{\left( {x + 3} \right)^2} + m = 0\\ \Leftrightarrow {\left[ {{{\left( {x + 3} \right)}^2} + 1} \right]^2} - 10{\left( {x + 3} \right)^2} + m = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 3} \right)^4} + 2{\left( {x + 3} \right)^2} + 1 - 10{\left( {x + 3} \right)^2} + m = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 3} \right)^4} - 8{\left( {x + 3} \right)^2} + m + 1 = 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Đặt \({\left( {x + 3} \right)^2} = t\,\,\left( {t \ge 0} \right).\)
\( \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {t^2} - 8t + m + 1 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
\( \Rightarrow \left( * \right)\) có 4 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( 1 \right)\) có hai nghiệm t dương phân biệt
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\ - \dfrac{b}{a} > 0\\\dfrac{c}{a} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}16 - m - 1 > 0\\8 > 0\\m + 1 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}15 - m > 0\\m > - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 15\\m > - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 < m < 15\end{array}\)
Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,.....;\,\,14} \right\}.\)
\( \Rightarrow \) Có 15 giá trị m thỏa mãn bài toán.Phương trình \(\left( {{x^2} - 3x + m} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\) có \(1\) nghiệm duy nhất khi:
Phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất khi \({x^2} - 3x + m = 0\) vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất \(x = 1\).
TH1: Phương trình \({x^2} - 3x + m = 0\) vô nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta = {3^2} - 4m < 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{9}{4}\).
TH2: Phương trình \({x^2} - 3x + m = 0\) có nghiệm duy nhất \(x = 1\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta = 0\\{1^2} - 3.1 + m = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 - 4m = 0\\ - 2 + m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{9}{4}\\m = 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow m \in \emptyset \).
Vậy \(m > \dfrac{9}{4}\).
Cho phương trình: \({\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)^2} + 2\left( {3 - m} \right)\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) + {m^2} - 6m = 0\). Tìm \(m\) để phương trình vô nghiệm.
Đặt \(t = {x^2} - 2x + 3 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 2 \ge 2\). Ta được phương trình \({t^2} + 2\left( {3 - m} \right)t + {m^2} - 6m = 0\;\;\left( 1 \right)\),
\({\Delta ^/} = {m^2} - 6m + 9 - {m^2} + 6m = 9\) suy ra phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có hai nghiệm là \({t_1} = m - 6\) và \({t_2} = m\).
Theo yêu cầu bài toán ta suy ra phương trình \(\left( 1 \right)\) phải có cả hai nghiệm nhỏ hơn \(2\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 6 < 2\\m < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 8\\m < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 2\).
Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(a\) để phương trình: \({x^4} + 2{x^2} + a = 0\) \(\left( 1 \right)\) có đúng \(3\) nghiệm phân biệt.
Đặt \(t = {x^2} \ge 0\)
Phương trình \(\left( 1 \right)\) thành \({t^2} + 2t + a = 0\) \(\left( 2 \right)\)
Phương trình \(\left( 1 \right)\) có đúng \(3\) nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \) phương trình \(\left( 2 \right)\) có một nghiệm bằng \(0\) và nghiệm còn lại dương.
\(\left( 2 \right)\) có nghiệm \(t = 0\) \( \Leftrightarrow {0^2} + 2.0 + a = 0 \Leftrightarrow a = 0\).
Khi đó phương trình trở thành \({t^2} + 2t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = - 2 < 0\end{array} \right.\) nên không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy không có giá trị nào của \(a\) thỏa mãn bài toán.
Cho phương trình \(a{x^4} + b{x^2} + c = 0\;\;\left( 1 \right)\;\;\left( {a \ne 0} \right)\). Đặt \(\Delta = {b^2} - 4ac\), \(S = \dfrac{{ - b}}{a}\), \(P = \dfrac{c}{a}\). Khi đó \(\left( 1 \right)\) có \(4\) nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
Đặt \(t = {x^2}\;\;\left( {t \ge 0} \right)\)
Phương trình \(\left( 1 \right)\) thành \(a{t^2} + bt + c = 0\,\,\,\left( 2 \right)\)
Phương trình \(\left( 1 \right)\) có \(4\) nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \) phương trình \(\left( 2 \right)\) có 2 nghiệm phân biệt dương \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.\).
Phương trình \({x^4} + \left( {1 - \sqrt 3 } \right){x^2} + 2\left( {4 - 2\sqrt 3 } \right) = 0\) có bao nhiêu nghiệm?
Đặt \({x^2} = t \ge 0\) ta được \({t^2} + \left( {1 - \sqrt 3 } \right)t + 2\left( {4 - 2\sqrt 3 } \right) = 0\)
Ta có \(\Delta = {\left( {1 - \sqrt 3 } \right)^2} - 4.2.\left( {4 - 2\sqrt 3 } \right)\) \( = 4 - 2\sqrt 3 - 8\left( {4 - 2\sqrt 3 } \right) = - 7\left( {4 - 2\sqrt 3 } \right) < 0\)
Suy ra phương trình ẩn \(t\) vô nghiệm hay phương trình đã cho cũng vô nghiệm.
Phương trình\( - {x^4} - 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right){x^2} + \left( {3 - 2\sqrt 2 } \right) = 0\) có tổng các nghiệm bằng
Đặt \(t = {x^2}\;\;\left( {t \ge 0} \right)\)
Phương trình \(\left( 1 \right)\) thành \( - {t^2} - 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)t + \left( {3 - 2\sqrt 2 } \right) = 0\) \(\left( 2 \right)\)
Phương trình \(\left( 2 \right)\) có \(a.c = \left( { - 1} \right)\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right) < 0\)
Suy ra phương trình \(\left( 2 \right)\) có \(2\) nghiệm trái dấu \({t_1} < 0 < {t_2}\)
Suy ra phương trình đầu có \(2\) nghiệm phân biệt \({x_{1,2}} = \pm \sqrt {{t_2}} \Rightarrow {x_1} + {x_2} = 0\).
Phương trình \( - {x^4} + \left( {\sqrt 3 - 2} \right){x^2} = 0\) có:
Ta có
\( - {x^4} + \left( {\sqrt 3 - 2} \right){x^2} = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2}\left( { - {x^2} + \sqrt 3 - 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 0\\{x^2} = \sqrt 3 - 2\;\;\left( {VN} \right)\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow {x^2} = 0\) \( \Leftrightarrow x = 0\).
Phương trình \(2{x^4} - 2019{x^2} - 6 = 0\) có bao nhiêu nghiệm dương?
Đặt \(t = {x^2}\;\;\left( {t \ge 0} \right)\)
Phương trình \(\left( 1 \right)\) thành \(2{t^2} - 2019t - 6 = 0\)\(\left( 1 \right)\)
Phương trình \(\left( 2 \right)\) có \(a.c = 2.\left( { - 6} \right) < 0\)
Suy ra phương trình \(\left( 2 \right)\) có 2 nghiệm trái dấu
Suy ra phương trình \(\left( 1 \right)\) có một nghiệm âm và một nghiệm dương.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) trong khoảng \(\left( { - 2019;2019} \right)\) để phương trình: \(2{\left( {{x^2} + 2x} \right)^2} - \left( {4m - 3} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right) + 1 - 2m = 0\) có đúng \(1\) nghiệm thuộc \(\left[ { - 3;0} \right].\)
Ta có: \(\Delta = {\left( {4m - 3} \right)^2} - 4.2.\left( {1 - 2m} \right) = {\left( {4m - 1} \right)^2}\)
\(2{\left( {{x^2} + 2x} \right)^2} - \left( {4m - 3} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right) + 1 - 2m = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 2x = \dfrac{1}{2}{\rm{ }}\left( 1 \right)\\{x^2} + 2x = 2m - 1{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} + 2x - \dfrac{1}{2} = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{ - 2 + \sqrt 6 }}{2} \notin \left[ { - 3;{\rm{ }}0} \right]\\x = \dfrac{{ - 2 - \sqrt 6 }}{2} \in \left[ { - 3;{\rm{ }}0} \right]\end{array} \right.\)
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} = 2m\). Phương trình đã cho có đúng \(1\) nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - 3;0} \right]\) khi và chỉ khi phương trình \(\left( 2 \right)\) có nghiệm nhưng không thuộc đoạn \(\left[ { - 3;0} \right]\) hoặc vô nghiệm.
Xét \(\left( 2 \right)\), nếu \(m < 0\) thì \(\left( 2 \right)\) vô nghiệm (thỏa mãn yêu cầu).
+) Nếu \(m = 0\) thì \(\left( 2 \right)\) có nghiệm duy nhất \(x = - 1 \in \left[ { - 3;0} \right]\) (không thỏa yêu cầu).
+) Nếu \(m > 0\) thì \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = - 1 - 2\sqrt m < - 1 + 2\sqrt m = {x_2}\) nên \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm không thuộc \(\left[ { - 3;0} \right]\) nếu \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 - \sqrt {2m} < - 3\\ - 1 + \sqrt {2m} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 2\\m > \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2\)
Vậy \(\left[ \begin{array}{l}m < 0\\m > 2\end{array} \right.\).
Mà \(m \in \left( { - 2019;2019} \right)\) và \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { - 2018; - 2017;...; - 1;3;4;...;2018} \right\}\).
Số các giá trị của \(m\) thỏa mãn bài toán là \(2018 + 2016 = 4034\).
Số nghiệm phương trình \(\left( {2 - \sqrt 5 } \right){x^4} + 5{x^2} + 7\left( {1 + \sqrt 2 } \right) = 0\) là:
\(\left( {2 - \sqrt 5 } \right){x^4} + 5{x^2} + 7\left( {1 + \sqrt 2 } \right) = 0\)
Đặt \({x^2} = t\,\,\,\left( {t \ge 0} \right)\)
\(\left( {2 - \sqrt 5 } \right){t^2} + 5t + 7\left( {1 + \sqrt 2 } \right) = 0\)
Nhận xét \(ac = \left( {2 - \sqrt 5 } \right)\left( {7 + 7\sqrt 2 } \right) < 0 \Rightarrow \)phương trình có 2 nghiệm \(t\) trái dấu nên chỉ có duy nhất 1 nghiệm \(t > 0 \Rightarrow \) có 2 nghiệm \(x\).
Phương trình \({x^4} - \left( {m + 1} \right){x^2} + m = 0\) có \(4\) nghiệm phân biệt khi
Xét phương trình: \({x^4} - \left( {m + 1} \right){x^2} + m = 0\,\,\,\,\,\left( * \right)\)
Đặt \({x^2} = t\,\,\,\,\left( {t \ge 0} \right)\)
\( \Rightarrow {t^2} - \left( {m + 1} \right)t + m = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Ta có: \({\Delta _t} = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4.m\)\( = {m^2} + 2m + 1 - 4m\) \( = {m^2} - 2m + 1 = {\left( {m - 1} \right)^2}\)
Phương trình \(\left( * \right)\) có 4 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( 1 \right)\) có hai nghiệm dương phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\ - \dfrac{b}{a} > 0\\\dfrac{c}{a} > 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\Delta _t} = {\left( {m - 1} \right)^2} > 0\\m + 1 > 0\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m > - 1\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\m \ne 1\end{array} \right.\).
Cho phương trình \({x^3} + 3{x^2} + \left( {4{m^2} - 12m + 11} \right)x + {\left( {2m - 3} \right)^2} = 0.\) Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{x^3} + 3{x^2} + \left( {4{m^2} - 12m + 11} \right)x + {\left( {2m - 3} \right)^2} = 0\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\\ \Leftrightarrow \,{x^3} + 3{x^2} + \left( {4{m^2} - 12m + 11} \right)x + 4{m^2} - 12m + 9 = 0\\ \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} + 2{x^2} + 2x + \left( {4{m^2} - 12m + 9} \right)x + 4{m^2} - 12m + 9 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {x + 1} \right) + 2x\left( {x + 1} \right) + \left( {4{m^2} - 12m + 9} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4{m^2} - 12m + 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\g\left( x \right) = {x^2} + 2x + 4{m^2} - 12m + 9 = 0\end{array} \right.\end{array}\)
Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow g\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt \( \ne - 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\g\left( { - 1} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - 4{m^2} + 12m - 9 > 0\\{\left( { - 1} \right)^2} + 2\left( { - 1} \right) + 4{m^2} - 12m + 9 \ne 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - 12m + 8 < 0\\4{m^2} - 12m + 8 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 < m < 2\\m \ne 2\\m \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < m < 2.\end{array}\)
Đặt \({x^2} = t\,\,\left( {t \ge 0} \right).\) Khi đó ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}{t^2} - 5t - 6 = 0 \Leftrightarrow \left( {t + 1} \right)\left( {t - 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t + 1 = 0\\t - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\,\,\left( {ktm} \right)\\t = 6\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow {x^2} = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt 6 \\x = - \sqrt 6 \end{array} \right..\end{array}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là:\(S = \left\{ { - \sqrt 6 ;\,\,\sqrt 6 } \right\}.\)
Phương trình \(\left( {{x^2} - 3x + m} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\) có 3 nghiệm phân biệt khi :
Phương trình \(\left( {{x^2} - 3x + m} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} - 3x + m = 0\;\;\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt
\( \Leftrightarrow \)Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác \(1\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 - 4m > 0\\1 - 3 + m \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{9}{4}\\m \ne 2\end{array} \right.\).
Cho phương trình \({\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)^2} + 2\left( {3 - m} \right)\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) + {m^2} - 6m = 0.\) Tìm \(m\) để phương trình có nghiệm.
Đặt \(t = {x^2} - 2x + 3 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 2 \geqslant 2\) ta được phương trình \({t^2} + 2\left( {3 - m} \right)t + {m^2} - 6m = 0\;\;\left( 1 \right)\)
${\Delta '} = {m^2} - 6m + 9 - {m^2} + 6m = 9$ suy ra phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có hai nghiệm là ${t_1} = m - 6$ và ${t_2} = m$.
Theo yêu cầu bài toán ta suy ra phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm lớn hơn hoặc bằng $2$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 6 \ge 2\\m \ge 2\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow m \ge 2$
Có bao nhiêu giá trị nguyên của $a$ để phương trình: ${x^4} + 2{x^2} + a = 0$$\left( 1 \right)$ có đúng $4$ nghiệm
Đặt \(t = {x^2}\ge 0\)
Phương trình$\left( 1 \right)$ thành \({t^2} + 2t + a = 0\)$\left( 2 \right)$
Phương trình $\left( 1 \right)$ có đúng $4$ nghiệm
\( \Leftrightarrow \) phương trình $\left( 2 \right)$ có $2$ nghiệm dương phân biệt
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S > 0\\P > 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 - 4a > 0\\ - 2 > 0\;\;\;\;\;\left( {vl} \right)\\a > 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow a \notin \emptyset $.
Phương trình sau đây có bao nhiêu nghiệm âm: \({x^6} + 2003{x^3} - 2005 = 0\)
Đặt \(t = {x^3}\) thì phương trình \({x^6} + 2003{x^3} - 2005 = 0\) trở thành \({t^2} + 2003t - 2005 = 0\)
Vì \(1.\left( { - 2005} \right) < 0\) suy ra phương trình ẩn \(t\) có \(2\) nghiệm trái dấu
Suy ra có phương trình đã cho có một nghiệm âm.
Cho phương trình\(a{x^4} + b{x^2} + c = 0\;\;\left( 1 \right)\;\;\left( {a \ne 0} \right)\). Đặt:\(\Delta = {b^2} - 4ac\), \(S = \dfrac{{ - b}}{a}\), \(P = \dfrac{c}{a}\). Ta có \(\left( 1 \right)\) vô nghiệm khi và chỉ khi :
Đặt \(t = {x^2}\;\;\left( {t \ge 0} \right)\)
Phương trình \(\left( 1 \right)\) thành \(a{t^2} + bt + c = 0\,\,\,\left( 2 \right)\)
Phương trình \(\left( 1 \right)\) vô nghiệm
\( \Leftrightarrow \) phương trình \(\left( 2 \right)\) vô nghiệm hoặc phương trình \(\left( 2 \right)\) có 2 nghiệm cùng âm
\( \Leftrightarrow \Delta < 0 \cup \left\{ \begin{array}{l}\Delta \ge 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right.\).
Phương trình \({x^4} + \left( {\sqrt {65} - \sqrt 3 } \right){x^2} + 2\left( {8 + \sqrt {63} } \right) = 0\) có bao nhiêu nghiệm ?
Đặt \({x^2} = t \ge 0\) ta được \({t^2} + \left( {\sqrt {65} - \sqrt 3 } \right)t + 2\left( {8 + \sqrt {63} } \right) = 0\)
Ta có \(\Delta = {\left( {\sqrt {65} - \sqrt 3 } \right)^2} - 4.2.\left( {8 + \sqrt {63} } \right) = 4 - 2\sqrt {195} - 8\sqrt {63} < 0\)
Suy ra phương trình ẩn \(t\) vô nghiệm hay phương trình đã cho cũng vô nghiệm.
