Tìm phương trình đường thẳng \(d:y = ax + b\). Biết đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(I\left( {2;3} \right)\) và tạo với hai tia \(Ox,\;Oy\) một tam giác vuông cân.

Đường thẳng \(d:y = ax + b\) đi qua điểm \(I\left( {2;3} \right) \Rightarrow 3 = 2a + b\,\,\left(  *  \right)\)

Ta có \(d \cap Ox = A\left( { - \dfrac{b}{a};0} \right)\); \(d \cap Oy = B\left( {0;b} \right)\).

Suy ra \(OA = \left| { - \dfrac{b}{a}} \right| =  - \dfrac{b}{a}\) và \(OB = \left| b \right| = b\) (do \(A,{\rm{ }}B\) thuộc hai tia \(Ox,\;Oy\)).

Tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\). Do đó, \(\Delta OAB\) vuông cân khi \(OA = OB\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow - \dfrac{b}{a} = b \Leftrightarrow b + \dfrac{b}{a} = 0 \Leftrightarrow b\left( {1 + \dfrac{1}{a}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow b.\dfrac{{a + 1}}{a} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\a =  - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(b = 0 \Rightarrow A \equiv B \equiv O\left( {0;0} \right)\): không thỏa mãn.

Với \(a =  - 1\), kết hợp với \(\left(  *  \right)\) ta được hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3 = 2a + b\\a =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b = 5\end{array} \right.\).

Vậy đường thẳng cần tìm là \(d:y =  - x + 5\).