Hàm số bậc nhất

Đường thẳng $d:y = ax + b$ đi qua điểm $I\left( {1;2} \right) \Rightarrow 2 = a + b \left( 1 \right)$

Ta có $d \cap Ox = A\left( { - \dfrac{b}{a};0} \right)$; $d \cap Oy = B\left( {0;b} \right)$.

Suy ra $OA = \left| { - \dfrac{b}{a}} \right| =  - \dfrac{b}{a}$ và $OB = \left| b \right| = b$ (do $A,{\rm{ }}B$ thuộc hai tia $Ox$, $Oy$).

Tam giác $OAB$ vuông tại $O$.

Do đó, ta có ${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}OA.OB = 4$$\Rightarrow \dfrac{1}{2}.\left( { - \dfrac{b}{a}} \right).b = 4 \Leftrightarrow {b^2} =  - 8a \left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ suy ra $b = 2 - a$. Thay vào $\left( 2 \right)$, ta được

    ${\left( {2 - a} \right)^2} =  - 8a \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 4 =  - 8a$ $\Leftrightarrow {a^2} + 4a + 4 = 0 \Leftrightarrow a =  - 2$

Với $a =  - 2 \Rightarrow b = 4$.

Vậy đường thẳng cần tìm là $d:y =  - 2x + 4$.

Đường thẳng $d:\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$ đi qua điểm $M\left( { - 1;6} \right) \Rightarrow \dfrac{{ - 1}}{a} + \dfrac{6}{b} = 1.$   $\left( 1 \right)$

Ta có $d \cap Ox = A\left( {a;0} \right)$; $d \cap Oy = B\left( {0;b} \right)$.

Suy ra $OA = \left| a \right| = a$ và $OB = \left| b \right| = b$ (do $A,{\rm{ }}B$ thuộc hai tia $Ox$, $Oy$).

Tam giác $OAB$ vuông tại $O$. Do đó, ta có ${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}OA.OB = 4 \Rightarrow \dfrac{1}{2}ab = 4.$   $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có hệ

$\left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{1}{a} + \dfrac{6}{b} = 1\\\dfrac{1}{2}ab = 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}6a - b - ab = 0\\ab = 8\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6a - b - 8 = 0\\ab = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6a - 8\\a\left( {6a - 8} \right) - 8 = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6a - 8\\\left[ \begin{array}{l}a = 2\\a =  - \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\end{array} \right.$

Do $A$ thuộc tia $Ox \Rightarrow a = 2$. Khi đó, $b = 6a - 8 = 4$. Suy ra $a + 2b = 10.$

Với $x =  - 2$ thay vào $\;y = 2x + 5$, ta được $y = 1$.

Đồ thị hàm số cắt đường thẳng ${\Delta _1}$ tại điểm có hoành độ bằng $- 2$ nên đi qua điểm $A\left( { - 2;1} \right)$. Do đó ta có $1 = a.\left( { - 2} \right) + b.$   $\left( 1 \right)$                                                                                                 

Với $y =  - 2$ thay vào $\;y = -3x + 4$, ta được $x = 2$.

Đồ thị hàm số cắt đường thẳng $\;\;y = -3x + 4$ tại điểm có tung độ bằng $- 2$ nên đi qua điểm $B\left( {2; - 2} \right)$.

Do đó ta có $- 2 = a.2 + b.$   $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}1 = a.\left( { - 2} \right) + b\\ - 2 = a.2 + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a + b = 1\\2a + b =  - 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \dfrac{3}{4}\\b =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

Đồ thị hàm số đi qua điểm $M\left( {1;4} \right)$ nên $4 = a.1 + b.$   $\left( 1 \right)$

Mặt khác, đồ thị hàm số song song với đường thẳng $y = 2x + 1\,$ nên $\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b \ne 1\end{array} \right..$   $\left( 2 \right)$   

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}4 = a.1 + b\\a = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow a + b = 4$.

Đồ thị hàm số đi qua điểm $E\left( {2; - 1} \right)$ nên $- 1 = a.2 + b.$   $\left( 1 \right)$

Gọi $y = a'x + b'$ là đường thẳng đi qua hai điểm $O\left( {0;0} \right)$ và $N\left( {1;3} \right)$ nên

          $\left\{ \begin{array}{l}0 = a'.0 + b'\\3 = a'.1 + b'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a' = 3\\b' = 0\end{array} \right.$.

Đồ thị hàm số song song với đường thẳng $ON$ nên $\left\{ \begin{array}{l}a = a' = 3\\b \ne b' = 0\end{array} \right..$   $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l} - 1 = a.2 + b\\a = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b =  - 7\end{array} \right.$ $\Rightarrow S = {a^2} + {b^2} = 58$.

Phương trình đường thẳng AB là  x + y – 1 = 0 hay y = 1 – x.

Hoành độ giao điểm C là nghiệm của phương trình

$1 - x = x + m \Leftrightarrow x = \dfrac{{1 - m}}{2} \Rightarrow {x_C} = \dfrac{{1 - m}}{2}$.

Suy ra ${y_C} = 1 - \dfrac{{1 - m}}{2} = \dfrac{{1 + m}}{2}$.

Ta có

$\begin{array}{l}{y_C} = x_C^2 \Leftrightarrow \dfrac{{1 + m}}{2} = {\left( {\dfrac{{1 - m}}{2}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2 + 2m = {m^2} - 2m + 1\\ \Leftrightarrow {m^2} - 4m - 1 = 0\\ \Leftrightarrow m = 2 \pm \sqrt 5 \end{array}$.

Đồ thị hàm số đi qua điểm $N\left( {4; - 1} \right)$ nên $- 1 = a.4 + b.$   $\left( 1 \right)$

Mặt khác, đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng $y = 4x + 1$ nên $4.a =  - 1.$   $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l} - 1 = a.4 + b\\4a =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \dfrac{1}{4}\\b = 0\end{array} \right.$ $\Rightarrow P = ab = 0$.

Đường thẳng $d:y = ax + b$ đi qua điểm $I\left( {1;3} \right) \Rightarrow 3 = a + b.$   $\left( 1 \right)$

Ta có $d \cap Ox = A\left( { - \dfrac{b}{a};0} \right)$; $d \cap Oy = B\left( {0;b} \right)$.

Suy ra $OA = \left| { - \dfrac{b}{a}} \right| =  - \dfrac{b}{a}$ và $OB = \left| b \right| = b$ (do $A,{\rm{ }}B$ thuộc hai tia $Ox$, $Oy$).

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên đường thẳng $d$.

Xét tam giác $AOB$ vuông tại $O$, có đường cao $OH$ nên ta có

      $\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}}$  $\Leftrightarrow \dfrac{1}{5} = \dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}}\; \Leftrightarrow {b^2} = 5{a^2} + 5$  $\left( 2 \right)$                                                     

Từ $\left( 1 \right)$ suy ra $b = 3 - a$. Thay vào $\left( 2 \right)$, ta được ${\left( {3 - a} \right)^2} = 5{a^2} + 5$ $\Leftrightarrow 4{a^2} + 6a - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 2\\a = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$.

Với $a = \dfrac{1}{2}$, suy ra $b = \dfrac{5}{2}$. Suy ra $OA = \left| { - \dfrac{b}{a}} \right| =  - \dfrac{b}{a} =  - 5 < 0$: Loại.

Với $a =  - 2$, suy ra $b = 5$. Vậy đường thẳng cần tìm là $d:y =  - 2x + 5$.

Hàm số $y = \left( {m - 2} \right)x + 1$ là hàm số bậc nhất $\Leftrightarrow m - 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 2$.

Hàm số $y = \left( {m - \sqrt 5 } \right)x - 2$ nghịch biến trên R $\Leftrightarrow m - \sqrt 5  < 0 \Leftrightarrow m < \sqrt 5$.

Hàm số $y = \left( {3m + 4} \right)x + 5m$ đồng biến trên R $\Leftrightarrow 3m + 4 > 0 \Leftrightarrow m >  - \dfrac{4}{3}$.

Để hàm số $y = \left( {{m^2} - 4} \right)x + 2m - 1$ đồng biến trên R thì ${m^2} - 4 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - 2\end{array} \right.$.

Hệ số $a=3-m$.

Hàm số $y = \left( {3 - m} \right)x + 2$ nghịch biến trên R $\Leftrightarrow 3 - m < 0 \Leftrightarrow m > 3.$

Điểm $M\left( {0;\,\,2} \right)$ thuộc đường thẳng $\left( d \right)$ khi và chỉ khi $2 =  -m.0 +2m - 1 \Leftrightarrow m = \dfrac{3}{2}$.

Hàm số $y = \left( {m - 5} \right)x + 2019$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi $m - 5 < 0 \Leftrightarrow m < 5$

Ta có $y = \dfrac{{2x - 2}}{3} = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{2}{3}$  là hàm số bậc nhất nên A đúng.

Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi hệ số góc $k = {m^2} - m > 0$.

Giải bất phương trình ${m^2} - m > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 0\\m > 1\end{array} \right.$.

Điểm $A\left( {1;\,\,2} \right)$ thuộc đường thẳng $\left( d \right)$ khi và chỉ khi $2 = 2m.1 - m - 1 \Leftrightarrow m = 3$.

Thay $x = 2$  vào phương trình đường thẳng $\left( {{d_1}} \right):\,\,\,y = 3.2 - 2 = 4$.

Suy ra điểm $A\left( {2;\,\,4} \right)$ là giao điểm của hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)$.

Điều này có nghĩa tọa độ điểm $A$ phải thỏa mãn phương trình đường thẳng $\left( {{d_2}} \right)$.

Tức là $4 = 2m.2 + m - 1 \Leftrightarrow m = 1$.

Để đường thẳng $y = {m^2}x + 2$ cắt đường thẳng $y = 4x + 3$ khi và chỉ khi ${m^2} \ne 4 \Leftrightarrow m \ne  \pm 2$.