Hàm số bậc nhất

Đường thẳng \(d:y = ax + b\) đi qua điểm \(I\left( {1;2} \right) \Rightarrow 2 = a + b \left( 1 \right)\)

Ta có \(d \cap Ox = A\left( { - \dfrac{b}{a};0} \right)\); \(d \cap Oy = B\left( {0;b} \right)\).

Suy ra \(OA = \left| { - \dfrac{b}{a}} \right| =  - \dfrac{b}{a}\) và \(OB = \left| b \right| = b\) (do \(A,{\rm{ }}B\) thuộc hai tia \(Ox\), \(Oy\)).

Tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\).

Do đó, ta có \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}OA.OB = 4\)\( \Rightarrow \dfrac{1}{2}.\left( { - \dfrac{b}{a}} \right).b = 4 \Leftrightarrow {b^2} =  - 8a \left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) suy ra \(b = 2 - a\). Thay vào \(\left( 2 \right)\), ta được

    \({\left( {2 - a} \right)^2} =  - 8a \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 4 =  - 8a\) \( \Leftrightarrow {a^2} + 4a + 4 = 0 \Leftrightarrow a =  - 2\)

Với \(a =  - 2 \Rightarrow b = 4\).

Vậy đường thẳng cần tìm là \(d:y =  - 2x + 4\).

Đường thẳng \(d:\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1\) đi qua điểm \(M\left( { - 1;6} \right) \Rightarrow \dfrac{{ - 1}}{a} + \dfrac{6}{b} = 1.\)   \(\left( 1 \right)\)

Ta có \(d \cap Ox = A\left( {a;0} \right)\); \(d \cap Oy = B\left( {0;b} \right)\).

Suy ra \(OA = \left| a \right| = a\) và \(OB = \left| b \right| = b\) (do \(A,{\rm{ }}B\) thuộc hai tia \(Ox\), \(Oy\)).

Tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\). Do đó, ta có \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}OA.OB = 4 \Rightarrow \dfrac{1}{2}ab = 4.\)   \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có hệ

\(\left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{1}{a} + \dfrac{6}{b} = 1\\\dfrac{1}{2}ab = 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}6a - b - ab = 0\\ab = 8\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6a - b - 8 = 0\\ab = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6a - 8\\a\left( {6a - 8} \right) - 8 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 6a - 8\\\left[ \begin{array}{l}a = 2\\a =  - \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Do \(A\) thuộc tia \(Ox \Rightarrow a = 2\). Khi đó, \(b = 6a - 8 = 4\). Suy ra \(a + 2b = 10.\)

Với \(x =  - 2\) thay vào \(\;y = 2x + 5\), ta được \(y = 1\).

Đồ thị hàm số cắt đường thẳng \({\Delta _1}\) tại điểm có hoành độ bằng \( - 2\) nên đi qua điểm \(A\left( { - 2;1} \right)\). Do đó ta có \(1 = a.\left( { - 2} \right) + b.\)   \(\left( 1 \right)\)                                                                                                 

Với \(y =  - 2\) thay vào \(\;y = -3x + 4\), ta được \(x = 2\).

Đồ thị hàm số cắt đường thẳng \(\;\;y = -3x + 4\) tại điểm có tung độ bằng \( - 2\) nên đi qua điểm \(B\left( {2; - 2} \right)\).

Do đó ta có \( - 2 = a.2 + b.\)   \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}1 = a.\left( { - 2} \right) + b\\ - 2 = a.2 + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a + b = 1\\2a + b =  - 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \dfrac{3}{4}\\b =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)

Đồ thị hàm số đi qua điểm \(M\left( {1;4} \right)\) nên \(4 = a.1 + b.\)   \(\left( 1 \right)\)

Mặt khác, đồ thị hàm số song song với đường thẳng \(y = 2x + 1\,\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b \ne 1\end{array} \right..\)   \(\left( 2 \right)\)   

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}4 = a.1 + b\\a = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow a + b = 4\).

Đồ thị hàm số đi qua điểm \(E\left( {2; - 1} \right)\) nên \( - 1 = a.2 + b.\)   \(\left( 1 \right)\)

Gọi \(y = a'x + b'\) là đường thẳng đi qua hai điểm \(O\left( {0;0} \right)\) và \(N\left( {1;3} \right)\) nên

          \(\left\{ \begin{array}{l}0 = a'.0 + b'\\3 = a'.1 + b'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a' = 3\\b' = 0\end{array} \right.\).

Đồ thị hàm số song song với đường thẳng \(ON\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a = a' = 3\\b \ne b' = 0\end{array} \right..\)   \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 = a.2 + b\\a = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b =  - 7\end{array} \right.\) \( \Rightarrow S = {a^2} + {b^2} = 58\).

Phương trình đường thẳng AB là  x + y – 1 = 0 hay y = 1 – x.

Hoành độ giao điểm C là nghiệm của phương trình

\(1 - x = x + m \Leftrightarrow x = \dfrac{{1 - m}}{2} \Rightarrow {x_C} = \dfrac{{1 - m}}{2}\).

Suy ra \({y_C} = 1 - \dfrac{{1 - m}}{2} = \dfrac{{1 + m}}{2}\).

Ta có

\(\begin{array}{l}{y_C} = x_C^2 \Leftrightarrow \dfrac{{1 + m}}{2} = {\left( {\dfrac{{1 - m}}{2}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2 + 2m = {m^2} - 2m + 1\\ \Leftrightarrow {m^2} - 4m - 1 = 0\\ \Leftrightarrow m = 2 \pm \sqrt 5 \end{array}\).

Đồ thị hàm số đi qua điểm \(N\left( {4; - 1} \right)\) nên \( - 1 = a.4 + b.\)   \(\left( 1 \right)\)

Mặt khác, đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng \(y = 4x + 1\) nên \(4.a =  - 1.\)   \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 = a.4 + b\\4a =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - \dfrac{1}{4}\\b = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow P = ab = 0\).

Đường thẳng \(d:y = ax + b\) đi qua điểm \(I\left( {1;3} \right) \Rightarrow 3 = a + b.\)   \(\left( 1 \right)\)

Ta có \(d \cap Ox = A\left( { - \dfrac{b}{a};0} \right)\); \(d \cap Oy = B\left( {0;b} \right)\).

Suy ra \(OA = \left| { - \dfrac{b}{a}} \right| =  - \dfrac{b}{a}\) và \(OB = \left| b \right| = b\) (do \(A,{\rm{ }}B\) thuộc hai tia \(Ox\), \(Oy\)).

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) trên đường thẳng \(d\).

Xét tam giác \(AOB\) vuông tại \(O\), có đường cao \(OH\) nên ta có

      \(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}}\)  \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{5} = \dfrac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}}\; \Leftrightarrow {b^2} = 5{a^2} + 5\)  \(\left( 2 \right)\)                                                     

Từ \(\left( 1 \right)\) suy ra \(b = 3 - a\). Thay vào \(\left( 2 \right)\), ta được \({\left( {3 - a} \right)^2} = 5{a^2} + 5\) \( \Leftrightarrow 4{a^2} + 6a - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 2\\a = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\).

Với \(a = \dfrac{1}{2}\), suy ra \(b = \dfrac{5}{2}\). Suy ra \(OA = \left| { - \dfrac{b}{a}} \right| =  - \dfrac{b}{a} =  - 5 < 0\): Loại.

Với \(a =  - 2\), suy ra \(b = 5\). Vậy đường thẳng cần tìm là \(d:y =  - 2x + 5\).

Hàm số \(y = \left( {m - 2} \right)x + 1\) là hàm số bậc nhất \( \Leftrightarrow m - 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 2\).

Hàm số \(y = \left( {m - \sqrt 5 } \right)x - 2\) nghịch biến trên R \( \Leftrightarrow m - \sqrt 5  < 0 \Leftrightarrow m < \sqrt 5 \).

Hàm số \(y = \left( {3m + 4} \right)x + 5m\) đồng biến trên R \( \Leftrightarrow 3m + 4 > 0 \Leftrightarrow m >  - \dfrac{4}{3}\).

Để hàm số \(y = \left( {{m^2} - 4} \right)x + 2m - 1\) đồng biến trên R thì \({m^2} - 4 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - 2\end{array} \right.\).

Hệ số $a=3-m$.

Hàm số \(y = \left( {3 - m} \right)x + 2\) nghịch biến trên R \( \Leftrightarrow 3 - m < 0 \Leftrightarrow m > 3.\)

Điểm $M\left( {0;\,\,2} \right)$ thuộc đường thẳng $\left( d \right)$ khi và chỉ khi $2 =  -m.0 +2m - 1 \Leftrightarrow m = \dfrac{3}{2}$.

Hàm số \(y = \left( {m - 5} \right)x + 2019\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(m - 5 < 0 \Leftrightarrow m < 5\)

Ta có \(y = \dfrac{{2x - 2}}{3} = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{2}{3}\)  là hàm số bậc nhất nên A đúng.

Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi hệ số góc $k = {m^2} - m > 0$.

Giải bất phương trình ${m^2} - m > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 0\\m > 1\end{array} \right.$.

Điểm $A\left( {1;\,\,2} \right)$ thuộc đường thẳng $\left( d \right)$ khi và chỉ khi $2 = 2m.1 - m - 1 \Leftrightarrow m = 3$.

Thay $x = 2$  vào phương trình đường thẳng $\left( {{d_1}} \right):\,\,\,y = 3.2 - 2 = 4$.

Suy ra điểm $A\left( {2;\,\,4} \right)$ là giao điểm của hai đường thẳng $\left( {{d_1}} \right),\,\,\left( {{d_2}} \right)$.

Điều này có nghĩa tọa độ điểm $A$ phải thỏa mãn phương trình đường thẳng $\left( {{d_2}} \right)$.

Tức là $4 = 2m.2 + m - 1 \Leftrightarrow m = 1$.

Để đường thẳng \(y = {m^2}x + 2\) cắt đường thẳng \(y = 4x + 3\) khi và chỉ khi \({m^2} \ne 4 \Leftrightarrow m \ne  \pm 2\).