Kí hiệu \(X\) là tập hợp các cầu thủ \(x\) trong đội tuyển bóng rổ, \(P\left( x \right)\) là mệnh đề chứa biến \(''\)\(x\) cao trên \(180{\rm{ }}cm\)\(''\). Mệnh đề \(''\forall x \in X,\;P\left( x \right)''\) khẳng định rằng:
Mệnh đề “\(\forall x \in X\),\(x\) cao trên \(180{\rm{ }}cm\)” khẳng định: “Mọi cầu thủ trong đội tuyển bóng rổ đều cao trên \(180{\rm{ }}cm\)”.
Tìm mệnh đề đúng
Mệnh đề \(''3 + 6 \le 8''\) sai vì \(3 + 6 = 9 > 8\).
Mệnh đề \(''\sqrt {15} > 4 \Rightarrow 3 \ge \sqrt 3 ''\) đúng vì mệnh đề \(\sqrt {15} > 4\) sai nên \(''\sqrt {15} > 4 \Rightarrow 3 \ge \sqrt 3 ''\) luôn đúng.
Mệnh đề \(''\forall x \in \mathbb{R},{x^2} > 0''\) sai vì nếu \(x = 0\) thì \({0^2} > 0\) là sai.
Mệnh đề “Tam giác $ABC$ vuông tại \(A \Leftrightarrow A{B^2} + B{C^2} = A{C^2}\)” sai vì “Tam giác $ABC$ vuông tại \(A \Leftrightarrow A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)”.
Xét câu $P\left( n \right)$: “$n$ chia hết cho $12$ ”. Với giá trị nào của $n$ sau đây thì $P\left( n \right)$ là mệnh đề đúng ?
Với \(n = 48\) thì \(n \vdots 12\) nên A đúng.
Các đáp án còn lại đề không chia hết cho \(12\) nên loại.
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?
Xét đáp án D. Với \(k \in \mathbb{N}\), ta xét các trường hợp của \(n\):
+ Khi \(n = 4k \Rightarrow {n^2} + 1 = 16{k^2} + 1\) không chia hết cho \(4.\)
+ Khi \(n = 4k\, + 1 \Rightarrow {n^2} + 1 = 16{k^2} + 8k + 2\) không chia hết cho \(4.\)
+ Khi \(n = 4k\, + 2 \Rightarrow {n^2} + 1 = 16{k^2} + 16k + 5\) không chia hết cho \(4.\)
+ Khi \(n = 4k\, + 3 \Rightarrow {n^2} + 1 = 16{k^2} + 24k + 10\) không chia hết cho \(4.\)
\( \Rightarrow \forall n \in \mathbb{N},\;{n^2} + 1\) không chia hết cho \(4.\)
Ngoài ra các mệnh đề ở mỗi đáp án A, B, C đều đúng. Thật vậy,
Xét \(x = 2\in \mathbb{Z} \Rightarrow 2{x^2} - 8=0\) => A đúng
Xét \(n = 3 \in \mathbb{N} \Rightarrow {n^2} + 11n + 2 = 44 \) chia hết cho 11 => B đúng
Hơn nữa 5 là số nguyên tố và 5 chia hết cho 5 nên C đúng
Cho tập hợp \(A = \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\). Mệnh đề nào sau đây sai?
Các mệnh đề A, B, C đều đúng.
Đáp án D sai vì nếu \(\left| x \right| \le 5\) thì $x$ có thể bằng $-4$, mà $-4 \notin A$. Do đó $x\notin A$.
Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?
Đáp án A đúng vì với \(x = \dfrac{1}{2} \in \mathbb{R},{x^2} = \dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{2} = x.\)
Đáp án B sai vì nếu \(x = 0\) thì \({0^2} = 0\).
Đáp án C sai vì \(\left| x \right| > 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < - 1\end{array} \right.\).
Đáp án D sai vì \({x^2} \ge x \Leftrightarrow {x^2} - x \ge 0\) \( \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le 0\end{array} \right.\).
Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề \(P:''\forall x \in \mathbb{R},2x - 9 = 0''\)
Mệnh đề phủ định của mệnh đề \(P:''\forall x \in \mathbb{R},2x - 9 = 0''\) là \(\overline P :''\exists x \in \mathbb{R},2x - 9 \ne 0''\).
Mệnh đề nào sau đây là phủ định của mệnh đề “Mọi động vật đều di chuyển”?
Phủ định của mệnh đề “Mọi động vật đều di chuyển” là “Có ít nhất một động vật không di chuyển”.
Cho mệnh đề “$\forall x \in R:{x^2} < x$”. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là phủ định của mệnh đề?
Phủ định của mệnh đề “$\forall x \in R:{x^2} < x$” là “$\exists x \in R:{x^2} \ge x$”.
Cho mệnh đề “\(\forall x \in R,{x^2} + x \ge - \dfrac{1}{4}\)”. Lập mệnh đề phủ định của mệnh đề $A$ và xét tính đúng sai của nó .
Phủ định của mệnh đề “\(\forall x \in R,{x^2} + x \ge - \dfrac{1}{4}\)” là “\(\exists x \in R,{x^2} + x < - \dfrac{1}{4}\)”.
Đây là mệnh đề sai vì với mọi \(x \in R\) ta có : \({x^2} + x + \dfrac{1}{4} = {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\).
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là định lí?
Ta có: \({x^2} > 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < - 2\end{array} \right.\)
Đáp án A sai vì nếu \(x = - 1\) thì \({\left( { - 1} \right)^2} > 4\) nên mệnh đề sai.
Đáp án B đúng.
Đáp án C sai vì chưa thể suy ra chắc chắn $x>2$ mà vẫn có thể xảy ra trường hợp \(x < - 2\)
Đáp án D sai vì nếu \(x = - 3\) thì mệnh đề sai.
Giải bài toán sau bằng phương pháp chứng minh phản chứng: “Chứng minh rằng với mọi $x,y,z$ bất kỳ thì các bất đẳng thức sau không đồng thời xảy ra \(\left| x \right| < \left| {y - z} \right|\); \(\left| y \right| < \left| {z - x} \right|\); \(\left| z \right| < \left| {x - y} \right|\).”
Một học sinh đã lập luận tuần tự như sau:
(I) Giả định các đẳng thức xảy ra đồng thời.
(II) Thế thì nâng lên bình phương hai vế các bất đẳng thức, chuyển vế phải sang vế trái, rồi phân tích, ta được:
$\left( {x-y + z} \right)\left( {x + y-z} \right) < 0$
$\left( {y-z + x} \right)\left( {y + z-x} \right) < 0$
$\left( {z-x + y} \right)\left( {z + x-y} \right) < 0$
(III) Sau đó, nhân vế theo vế thì ta thu được: ${\left( {x-y + z} \right)^2}{\left( {x + y-z} \right)^2}{\left( {-x + y + z} \right)^2} < 0$ (vô lí)
Lý luận trên, nếu sai thì sai từ giai đoạn nào?
Giả sử các bất đẳng thức \(\left| x \right| < \left| {y - z} \right|,\left| y \right| < \left| {z - x} \right|,\left| z \right| < \left| {x - y} \right|\) đồng thời xảy ra.
Khi đó:
\(\begin{array}{l}\left| x \right| < \left| {y - z} \right| \Rightarrow {x^2} - {\left( {y - z} \right)^2} < 0 \Leftrightarrow \left( {x - y + z} \right)\left( {x + y - z} \right) < 0\\\left| y \right| < \left| {z - x} \right| \Rightarrow {y^2} - {\left( {z - x} \right)^2} < 0 \Leftrightarrow \left( {y - z + x} \right)\left( {y + z - x} \right) < 0\\\left| z \right| < \left| {x - y} \right| \Rightarrow {z^2} - {\left( {x - y} \right)^2} < 0 \Leftrightarrow \left( {z - x + y} \right)\left( {z + x - y} \right) < 0\end{array}\)
Nhân vế với vế ba bất đẳng thức trên ta được: ${\left( {x-y + z} \right)^2}{\left( {x + y-z} \right)^2}{\left( {-x + y + z} \right)^2} < 0$ (vô lý).
Vậy lập luận đó đúng.
“Chứng minh rằng \(\sqrt 2 \) là số vô tỉ”. Một học sinh đã lập luận như sau:
Bước 1: Giả sử \(\sqrt 2 \) là số hữu tỉ, thế thì tồn tại các số nguyên dương $m,n$ sao cho \(\sqrt 2 = \dfrac{m}{n}\) (1)
Bước 2: Ta có thể giả định thêm \(\dfrac{m}{n}\) là phân số tối giản.
Từ đó $2{n^2} = {m^2}$ (2).
Suy ra ${m^2}$ chia hết cho $2 \Rightarrow m$ chia hết cho $2 \Rightarrow $ ta có thể viết $m = 2p$.
Nên (2) trở thành ${n^2} = 2{p^2}$ .
Bước 3: Như vậy ta cũng suy ra n chia hết cho $2$ và cũng có thể viết $n = 2q$ .
Và (1) trở thành \(\sqrt 2 = \dfrac{{2p}}{{2q}} = \dfrac{p}{q} \Rightarrow \dfrac{m}{n}\) không phải là phân số tối giản, trái với giả thiết.
Bước 4: Vậy \(\sqrt 2 \) là số vô tỉ.
Lập luận trên đúng tới hết bước nào?
Dựa vào các bước chứng minh ta thấy lập luận đó là chính xác tất cả các bước.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào không phải là định lí ?
Đáp án A: Trong mặt phẳng, nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì chúng song song.
Mệnh đề đúng.
Đáp án B: Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau.
Mệnh đề đúng.
Đáp án C: Nếu tứ giác là hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc với nhau.
Mệnh đề đúng.
Đáp án D: Nếu một số nguyên dương chia hết cho \(5\) thì tận cùng của nó bằng \(5\).
Đây là mệnh đề sai vì còn xảy ra trường hợp tận cùng bằng \(0\).
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?
Đáp án A : Nếu tứ giác là hình thang cân thì nó có hai đường chéo bằng nhau.
Đây là mệnh đề đúng.
Đáp án B : Nếu số tự nhiên \(n\) chia hết cho \(6\) và \(4\) thì nó chia hết cho \(24\).
Đây là mệnh đề sai, chẳng hạn số \(n = 12\).
Đáp án C : Nếu \(n\) là số nguyên tố lớn hơn \(3\) thì \({n^2} + 20\) là một hợp số.
Mệnh đề đúng vì nếu \(n\) nguyên tố lớn hơn \(3\) thì \(n\) chia cho \(3\) dư \(1\) hoặc \(2\).
+ TH1 : \(n = 3k + 1 \Rightarrow {n^2} + 20 = {\left( {3k + 1} \right)^2} + 20 \) \(= 9{k^2} + 6k + 21 \vdots 3\)
+ TH2 : \(n = 3k + 2 \Rightarrow {n^2} + 20 = {\left( {3k + 2} \right)^2} + 20 \) \(= 9{k^2} + 12k + 24 \vdots 3\)
Do đó ta luôn có \({n^2} + 20\) là hợp số.
Đáp án D : Nếu \(n\) là số nguyên tố lớn hơn \(3\) thì \({n^2} - 1\) chia hết cho \(24\).
Mệnh đề đúng vì nếu \(n\) nguyên tố lớn hơn \(3\) thì \(n\) chia cho \(3\) dư \(1\) hoặc \(2\).
+ TH1 : \(n = 3k + 1 \Rightarrow {n^2} - 1 = {\left( {3k + 1} \right)^2} - 1 \) \(= 9{k^2} + 6k = 3k\left( {3k + 2} \right) \vdots 3\)
+ TH2 : \(n = 3k + 2 \Rightarrow {n^2} - 1 = {\left( {3k + 2} \right)^2} - 1 \) \(= 9{k^2} + 12k + 3 = 3\left( {3{k^2} + 4k + 1} \right) \vdots 3\)
Do đó ta luôn có \({n^2} - 1 \vdots 3\)
Ngoài ra \(n\) nguyên tố lớn hơn \(3\) nên \(n\) lẻ, do đó :
\(n = 2m + 1 \Rightarrow {n^2} - 1 = {\left( {2m + 1} \right)^2} - 1 \) \(= 4{m^2} + 4m = 4m\left( {m + 1} \right) \vdots \left( {4.2} \right) = 8\)
Vậy \({n^2} - 1 \vdots \left( {3.8} \right) = 24\)
Vậy các mệnh đề A, C, D đều đúng.
Chọn phương án trả lời đúng trong các phương án đã cho sau đây.
Mệnh đề "\(\exists x \in \mathbb{R}:{x^2} = 2\)" khẳng định rằng:
Mệnh đề "\(\exists x \in \mathbb{R}:{x^2} = 2\)" được phát biểu là: Tồn tại số thực \(x\) để cho \({x^2} = 2\), hay “Có ít nhất một số thực mà bình phương của nó bằng $2$”.
Cho hai mệnh đề \(P\) và \(Q.\) Phát biểu nào sau đây sai về mệnh đề đúng \(P \Leftrightarrow Q\) ?
Mệnh đề đúng \(P \Leftrightarrow Q\) có thể được phát biểu theo các ngôn ngữ khi và chỉ khi, nếu và chỉ nếu, điều kiện cần và đủ nên đáp án C là sai.
Cho hai mệnh đề \(P\) và \(Q.\) Tìm điều kiện để mệnh đề \(P \Leftrightarrow Q\) đúng.
Điều kiện để \(P \Leftrightarrow Q\) đúng là \(P,Q\) cùng đúng hoặc cùng sai nên \(\overline P ,\overline Q \) cùng sai hoặc cùng đúng.
Các phát biểu nào sau đây không thể là phát biểu của mệnh đề đúng \(P \Rightarrow Q\)
Mệnh đề đúng \(P \Rightarrow Q\) có thể được phát biểu là: nếu \(P\) thì \(Q\), $P$ kéo theo $Q$, $P$ là điều kiện đủ để có $Q$.
Cho mệnh đề : “Nếu một tứ giác là hình thang cân thì tứ giác đó có hai đường chéo bằng nhau”. Mệnh đề nào sau đây tương đương với mệnh đề đã cho ?
Mệnh đề “Nếu một tứ giác là hình thang cân thì tứ giác đó có hai đường chéo bằng nhau” có thể được phát biểu là:
+) “Điều kiện cần để tứ giác là hình thang cân là tứ giác đó có hai đường chéo bằng nhau” nên A đúng.
+) “Điều kiện đủ để tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là tứ giác đó là hình thang cân” nên B đúng, C sai.
