“Chứng minh rằng \(\sqrt 2 \)  là số vô tỉ”. Một học sinh đã lập luận như sau:

Bước 1: Giả sử \(\sqrt 2 \) là số hữu tỉ, thế thì tồn tại các số nguyên dương $m,n$  sao cho \(\sqrt 2  = \dfrac{m}{n}\) (1)

Bước 2: Ta có thể giả định thêm \(\dfrac{m}{n}\) là phân số tối giản.

Từ đó $2{n^2} = {m^2}$  (2).

Suy ra ${m^2}$  chia hết cho $2 \Rightarrow m$ chia hết cho $2 \Rightarrow $  ta có thể viết $m = 2p$.

Nên (2) trở thành ${n^2} = 2{p^2}$ .

Bước 3: Như vậy ta cũng suy ra n chia hết cho $2$ và cũng có thể viết $n = 2q$ .

Và (1) trở thành \(\sqrt 2  = \dfrac{{2p}}{{2q}} = \dfrac{p}{q} \Rightarrow \dfrac{m}{n}\) không phải là phân số tối giản, trái với giả thiết.

Bước 4: Vậy \(\sqrt 2 \) là số vô tỉ.

Lập luận trên đúng tới hết bước nào?

Mệnh đề phủ định của mệnh đề nào sau đây đúng?

Hãy sắp xếp các bước dưới đây theo thứ tự đúng để hoàn thiện lời giải bài chứng minh định lí “Nếu số tự nhiên \(n\) chia hết cho 5 thì \({n^2}\) chia hết cho 25”.

(1) Suy ra \({n^2} = {\left( {5k} \right)^2} = 25{k^2}\) chia hết cho 25.

(2) Lấy \(n \in \mathbb{N}\) tùy ý.

(3) Khi đó, \(n = 5k\) với \(k \in \mathbb{N}\).

Cho các bước chứng minh định lí “Nếu \(n\) là số tự nhiên chẵn thì \({n^2} + 1\) là số tự nhiên lẻ”:

(1) Khi đó, \(n = 2k\), \(k \in \mathbb{N}\).

(2) Suy ra \({n^2} + 1 = {\left( {2k} \right)^2} + 1 = 4{k^2} + 1\)

(3) Cho \(n\) chẵn tùy ý.

(4) Vậy \({n^2} + 1\) là số tự nhiên lẻ.

(5) Vì \(4{k^2}\) chia hết cho 2 và 1 không chia hết cho 2 nên \(4{k^2} + 1\) không chia hết cho 2.

Thứ tự đúng để hoàn thiện bài trên là

Mệnh đề phủ định của mệnh đề “\(P\left( n \right):\,\,\forall n \in \mathbb{R},\,\,{n^2} + 3n + 5 > 0\)” là:

Trong các câu sau, câu nào không là mệnh đề chứa biến ?

Mệnh đề nào sau đây đúng?

Mệnh đề \(''\exists x \in \mathbb{R},\;{x^2} = 2''\) khẳng định rằng: