Có bao giá trị nguyên của m trong đoạn \(\left[ { - 2020;2020} \right]\) để tam thức bậc hai \(( - {m^2} + 4){x^2} + 2(m + 2)x -2\) luôn âm?

Ta có

\(\begin{array}{l}( - {m^2} + 4){x^2} + 2(m + 2)x - 2 < 0\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {m^2} + 4 < 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - 2\end{array} \right.\\{\left( {m + 2} \right)^2} + 2\left( { - {m^2} + 4} \right) < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - 2\end{array} \right.\\{m^2} - 4m - 12 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - 2\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m > 6\\m <  - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 6\\m <  - 2\end{array} \right.\end{array}\)

Ta có  \( - 2020 \le m \le 2020\) nên \(\left[ \begin{array}{l} - 2020 \le m <  - 2\\6 < m \le 2020\end{array} \right.\)

Vì m nguyên nên \(m \in \left\{ { - 2020; - 2019;...; - 3} \right\} \cup \left\{ {7;8;...;2020} \right\}\)

Do đó có \(\left[ { - 3 - ( - 2020) + 1} \right] = 2018\) số nguyên từ \( - 2020\) đến -3 và có \(2020 - 7 + 1 = 2014\) số nguyên từ 7 đến 2020.

Vậy có 4032 số nguyên thỏa mãn.