Tìm m để bất phương trình $2m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m + 1 \le 0$ có nghiệm

Ta tìm m để bất phương trình vô nghiệm.

Bất phương trình $2m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m + 1 \le 0$ vô nghiệm

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m + 1 > 0\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\{\left( {m + 1} \right)^2} - 2m\left( {m + 1} \right) < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\left( {m + 1} \right)\left( {1 - m} \right) < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\\left[ \begin{array}{l}m > 1\\m <  - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 1\end{array}$

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm khi $m \le 1$