Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt có trọng tâm G và G’. Đẳng thức nào dưới đây là sai?

Vì G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’ nên ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \\\overrightarrow {G'A'}  + \overrightarrow {G'B'}  + \overrightarrow {G'C'}  = \overrightarrow 0 .\end{array}\)

Với điểm M bất kì khác điểm G ta chứng minh: \(3\overrightarrow {MG}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} \)

Ta có: \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  \) \(= \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GC}  = 3\overrightarrow {MG} \)

Tương tự ta có: \(3\overrightarrow {MG'}  = \overrightarrow {MA'}  + \overrightarrow {MB'}  + \overrightarrow {MC'} \)

Từ đó suy ra

\(\begin{array}{l}3\overrightarrow {GG'}  = 3\left( {\overrightarrow {MG'}  - \overrightarrow {MG} } \right) = 3\overrightarrow {MG'}  - 3\overrightarrow {MG} \\ = \overrightarrow {MA'}  + \overrightarrow {MB'}  + \overrightarrow {MC'}  - \overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MC} \\ = \left( {\overrightarrow {MA'}  - \overrightarrow {MA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MB'}  - \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MC'}  - \overrightarrow {MC} } \right)\\ = \overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {CC'} .\end{array}\)

Nên A đúng.

Đáp án B:

\(\begin{array}{l}3\overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow {GG'}  + \overrightarrow {GG'}  + \overrightarrow {GG'} \\ = \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {AC'}  + \overrightarrow {C'G'}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {BA'}  + \overrightarrow {A'G'} \\ + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {CB'}  + \overrightarrow {B'G'} \\ = \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right) + \left( {\overrightarrow {AC'}  + \overrightarrow {BA'}  + \overrightarrow {CB'} } \right)\\ + \left( {\overrightarrow {C'G'}  + \overrightarrow {A'G'}  + \overrightarrow {B'G'} } \right)\\ = \overrightarrow 0  + \left( {\overrightarrow {AC'}  + \overrightarrow {BA'}  + \overrightarrow {CB'} } \right) + \overrightarrow 0 \\ = \overrightarrow {AC'}  + \overrightarrow {BA'}  + \overrightarrow {CB'} \end{array}\)

Nên B đúng.

Đáp án C:

\(\begin{array}{l}3\overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow {GG'}  + \overrightarrow {GG'}  + \overrightarrow {GG'} \\ = \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {AB'}  + \overrightarrow {B'G'}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {BC'}  + \overrightarrow {C'G'} \\ + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {CA'}  + \overrightarrow {A'G'} \\ = \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right) + \left( {\overrightarrow {AB'}  + \overrightarrow {BC'}  + \overrightarrow {CA'} } \right)\\ + \left( {\overrightarrow {B'G'}  + \overrightarrow {C'G'}  + \overrightarrow {A'G'} } \right)\\ = \overrightarrow 0  + \left( {\overrightarrow {AB'}  + \overrightarrow {BC'}  + \overrightarrow {CA'} } \right) + \overrightarrow 0 \\ = \overrightarrow {AB'}  + \overrightarrow {BC'}  + \overrightarrow {CA'} \end{array}\)

Nên C đúng.

D sai do A đúng.