Giá trị của biểu thức $A = {\tan ^2}\dfrac{\pi }{{24}} + {\cot ^2}\dfrac{\pi }{{24}}$ bằng
Trả lời bởi giáo viên
$A = {\tan ^2}\dfrac{\pi }{{24}} + {\cot ^2}\dfrac{\pi }{{24}}$
$ = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{\pi }{{24}}}} - 1 + \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\dfrac{\pi }{{24}}}} - 1$
$ = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\dfrac{\pi }{{24}}.\sin^2\dfrac{\pi }{{24}}}} - 2$
$ = \dfrac{4}{{\sin^2\dfrac{\pi }{{12}}}} - 2$$ = \dfrac{8}{{1 - \cos \dfrac{\pi }{6}}} - 2$
$\begin{array}{l}
= \dfrac{8}{{1 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}} - 2 = \dfrac{{16}}{{2 - \sqrt 3 }} - 2\\
= \dfrac{{16 - 4 + 2\sqrt 3 }}{{2 - \sqrt 3 }} = \dfrac{{12 + 2\sqrt 3 }}{{2 - \sqrt 3 }}
\end{array}$
Hướng dẫn giải:
Sử dụng các công thức \({\tan ^2}\alpha = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1,{\cot ^2}\alpha = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} - 1\)