Nếu $\alpha $ là góc nhọn và $\sin \dfrac{\alpha }{2} = \sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{2x}}} $ thì $\tan \alpha $ bằng
Trả lời bởi giáo viên
Ta có: $0 < \alpha < {90^0}$$ \Leftrightarrow 0 < \dfrac{\alpha }{2} < {45^0}$$ \Rightarrow 0 < \sin \dfrac{\alpha }{2} < \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$$ \Leftrightarrow 0 < \sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{2x}}} < \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$$ \Leftrightarrow x > 0$
${\sin ^2}\dfrac{\alpha }{2} + {\cos ^2}\dfrac{\alpha }{2} = 1$$ \Rightarrow \cos \dfrac{\alpha }{2} = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\dfrac{\alpha }{2}} $, vì $0 < \dfrac{\alpha }{2} < {45^0}$
$ \Leftrightarrow \cos \dfrac{\alpha }{2} = \sqrt {\dfrac{{x + 1}}{{2x}}} $$ \Rightarrow \tan \dfrac{\alpha }{2} = \sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}} $
$tan\alpha = \dfrac{{2\tan \dfrac{\alpha }{2}}}{{1 - {{\tan }^2}\dfrac{\alpha }{2}}} = \dfrac{{2\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}} }}{{1 - \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}}} = \sqrt {{x^2} - 1} $.
Hướng dẫn giải:
Tính \(\tan \dfrac{\alpha }{2}\) rồi thay vào công thức nhân đôi $tan\alpha = \dfrac{{2\tan \dfrac{\alpha }{2}}}{{1 - {{\tan }^2}\dfrac{\alpha }{2}}}$