Góc lượng giác và cung lượng giác

Góc hình học $\widehat {AOB}$ điểm đầu $A$, điểm cuối $B$ trên đường tròn định hướng là một góc lượng giác.

Ta có:

$\begin{array}{l}\left( {Ox,Oy} \right) = {1822^0}30'\\ \Leftrightarrow {22^0}30' + k{.360^0} = {1822^0}30'\\ \Leftrightarrow k = 5\end{array}$

Ta có

 $\begin{array}{l}10\pi  < \alpha  < 11\pi  \Leftrightarrow 10\pi  < \dfrac{\pi }{2} + k2\pi  < 11\pi \\ \Leftrightarrow \dfrac{{19\pi }}{2} < k2\pi  < \dfrac{{21\pi }}{2} \Leftrightarrow k = 5\end{array}$

Quan sát hình vẽ ta thấy góc $\left( {OG,OP} \right)$ có tia đầu $OG$ và tia cuối $OP$, chiều dương ngược chiều kim đồng hồ nên $\left( {OG,OP} \right) = {270^0} + k{360^0}$ hoặc nếu theo chiều âm các em có thể kết luận $\left( {OG,OP} \right) =  - {90^0} + k{360^0}$

Vì số đo cung $AM$ bằng ${45^0}$ nên $\widehat {AOM} = {45^0}$, $N$ là điểm đối xứng với $M$ qua trục $Ox$ nên $\widehat {AON} = {45^0}$.

Do đó $\left( {OA,ON} \right) =  - {45^0} + k{360^0}$ nên số đo cung lượng giác $AN$ là $- \,\,{45^o} + k{360^o},\,\,k \in \mathbb{Z}$.

Ta có $\widehat {AOM} = {60^0}$, $\widehat {MON} = {60^0}$

Nên $\widehat {AON} = {120^0}$.

Khi đó số đo cung lượng giác $AN$ bằng ${120^0} + k{360^0}$.

Ta có $\widehat {AOM} = {75^0}$, $\widehat {MON} = {180^0} \Rightarrow \widehat {AON} = {105^0}$

Do đó, cung lượng giác $AN$ có số đo bằng $- {105^0} + k{360^0},\,\,\,k \in \mathbb{Z}$.

Cách 1. Ta có $\delta  - \alpha  = 4\pi \,\, \Rightarrow$ hai cung $\alpha$ và $\delta$ có điểm cuối trùng nhau.

Và $\gamma  - \beta  = 8\pi \,\, \Rightarrow$ hai cung $\beta$ và $\gamma$ có điểm cuối trùng nhau.

Cặp góc lượng giác $a$ và $b$ ở trên cùng một đường tròn đơn vị, cùng tia đầu và tia cuối.

Khi đó $a = b + k2\pi$, $k \in \mathbb{Z}$ hay $k = \dfrac{{a - b}}{{2\pi }}$.

Dễ thấy, ở đáp án B vì $k = \dfrac{{\dfrac{\pi }{{10}} - \dfrac{{152\pi }}{5}}}{{2\pi }} =  - \dfrac{{303}}{{20}} \notin \mathbb{Z}$.

Đáp án A : Cung lượng giác có số đo $\dfrac{{k2\pi }}{3}$.

- Với $k = 1 \Rightarrow \dfrac{{1.2\pi }}{3} = \dfrac{{2\pi }}{3}$ ta có điểm $M$.

- Với $k = 2 \Rightarrow \dfrac{{k2\pi }}{3} = \dfrac{{4\pi }}{3}$ ta có điểm $N$.

- Với $k = 3 \Rightarrow \dfrac{{k2\pi }}{3} = 2\pi$ ta có điểm $A$.

- Với $k = 4 \Rightarrow \dfrac{{k2\pi }}{3} = \dfrac{{8\pi }}{3} = 2\pi  + \dfrac{{2\pi }}{3}$ có điểm biểu diễn $M$.

Tương tự với các giá trị khác của $k$ ta cũng chie thu được $3$ điểm $M,N,A$ trên đường tròn lượng giác và ba điểm đó tạo thành một tam giác đều nên A thỏa mãn.

Đáp án B : Chỉ có hai điểm biểu diễn là $A$ và $A'$ nên loại B.

Đáp án C : Có $4$ điểm biểu diễn $A,A',B,B'$ tạo thành hình vuông nên loại C.

Đáp án D : Có $6$ điểm biểu diễn tạo thành hình lục giác đều nên loại D.

Ta thấy: $k2\pi :\dfrac{{k\pi }}{2} = 4$ nên có $4$ điểm biểu diễn cho cung lượng giác đó, đáp án A thỏa mãn.

Ngoài ra: $k2\pi :k\pi  = 2$ nên có $2$ điểm biểu diễn cho cung lượng giác đó, đáp án B loại.

$k2\pi :\dfrac{{k2\pi }}{3} = 3$ nên có $3$ điểm biểu diễn và chúng là thành một tam giác đều.

$k2\pi :\dfrac{{k\pi }}{3} = 6$ nên có $6$ điểm biểu diễn và chúng làm thành một lục giác đều.

$M$ là điểm biểu diễn của cung lượng giác $\alpha  =  - {15^0}.$

$\Rightarrow$ Số đo cung lượng giác biểu diễn bởi điểm $M$ $=  - {15^o} + k{.360^o}\,\,\,\,\,\,\,(k \in \mathbb{Z})$

Dễ thấy để cung có số đo dương nhỏ nhất $\Leftrightarrow k = 1$

Khi đó số đo cung là $- {15^o} + {360^o} = {345^o}$ 

Dễ thấy $OA = OM = AM = 1 \Rightarrow \Delta OAM$  đều $\Rightarrow \angle AOM = {60^o} = \dfrac{\pi }{3}$

Vì M nằm dưới trục hoành $\Rightarrow$ Số đo cung AM $=  - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ,\,\,\,\,k \in \mathbb{Z}$