Góc lượng giác và cung lượng giác

Góc hình học \(\widehat {AOB}\) điểm đầu \(A\), điểm cuối \(B\) trên đường tròn định hướng là một góc lượng giác.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {Ox,Oy} \right) = {1822^0}30'\\ \Leftrightarrow {22^0}30' + k{.360^0} = {1822^0}30'\\ \Leftrightarrow k = 5\end{array}\)

Ta có

 $\begin{array}{l}10\pi  < \alpha  < 11\pi  \Leftrightarrow 10\pi  < \dfrac{\pi }{2} + k2\pi  < 11\pi \\ \Leftrightarrow \dfrac{{19\pi }}{2} < k2\pi  < \dfrac{{21\pi }}{2} \Leftrightarrow k = 5\end{array}$

Quan sát hình vẽ ta thấy góc \(\left( {OG,OP} \right)\) có tia đầu \(OG\) và tia cuối \(OP\), chiều dương ngược chiều kim đồng hồ nên \(\left( {OG,OP} \right) = {270^0} + k{360^0}\) hoặc nếu theo chiều âm các em có thể kết luận \(\left( {OG,OP} \right) =  - {90^0} + k{360^0}\)

Vì số đo cung \(AM\) bằng \({45^0}\) nên \(\widehat {AOM} = {45^0}\), \(N\) là điểm đối xứng với \(M\) qua trục \(Ox\) nên $\widehat {AON} = {45^0}$.

Do đó \(\left( {OA,ON} \right) =  - {45^0} + k{360^0}\) nên số đo cung lượng giác \(AN\) là \( - \,\,{45^o} + k{360^o},\,\,k \in \mathbb{Z}\).

Ta có \(\widehat {AOM} = {60^0}\), \(\widehat {MON} = {60^0}\)

Nên \(\widehat {AON} = {120^0}\).

Khi đó số đo cung lượng giác \(AN\) bằng \({120^0} + k{360^0}\).

Ta có \(\widehat {AOM} = {75^0}\), \(\widehat {MON} = {180^0} \Rightarrow \widehat {AON} = {105^0}\)

Do đó, cung lượng giác \(AN\) có số đo bằng \( - {105^0} + k{360^0},\,\,\,k \in \mathbb{Z}\).

Cách 1. Ta có \(\delta  - \alpha  = 4\pi \,\, \Rightarrow \) hai cung \(\alpha \) và \(\delta \) có điểm cuối trùng nhau.

Và \(\gamma  - \beta  = 8\pi \,\, \Rightarrow \) hai cung \(\beta \) và \(\gamma \) có điểm cuối trùng nhau.

Cặp góc lượng giác \(a\) và \(b\) ở trên cùng một đường tròn đơn vị, cùng tia đầu và tia cuối.

Khi đó \(a = b + k2\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\) hay \(k = \dfrac{{a - b}}{{2\pi }}\).

Dễ thấy, ở đáp án B vì \(k = \dfrac{{\dfrac{\pi }{{10}} - \dfrac{{152\pi }}{5}}}{{2\pi }} =  - \dfrac{{303}}{{20}} \notin \mathbb{Z}\).

Đáp án A : Cung lượng giác có số đo \(\dfrac{{k2\pi }}{3}\).

- Với \(k = 1 \Rightarrow \dfrac{{1.2\pi }}{3} = \dfrac{{2\pi }}{3}\) ta có điểm \(M\).

- Với \(k = 2 \Rightarrow \dfrac{{k2\pi }}{3} = \dfrac{{4\pi }}{3}\) ta có điểm \(N\).

- Với \(k = 3 \Rightarrow \dfrac{{k2\pi }}{3} = 2\pi \) ta có điểm \(A\).

- Với \(k = 4 \Rightarrow \dfrac{{k2\pi }}{3} = \dfrac{{8\pi }}{3} = 2\pi  + \dfrac{{2\pi }}{3}\) có điểm biểu diễn \(M\).

Tương tự với các giá trị khác của \(k\) ta cũng chie thu được \(3\) điểm \(M,N,A\) trên đường tròn lượng giác và ba điểm đó tạo thành một tam giác đều nên A thỏa mãn.

Đáp án B : Chỉ có hai điểm biểu diễn là \(A\) và \(A'\) nên loại B.

Đáp án C : Có \(4\) điểm biểu diễn \(A,A',B,B'\) tạo thành hình vuông nên loại C.

Đáp án D : Có \(6\) điểm biểu diễn tạo thành hình lục giác đều nên loại D.

Ta thấy: \(k2\pi :\dfrac{{k\pi }}{2} = 4\) nên có \(4\) điểm biểu diễn cho cung lượng giác đó, đáp án A thỏa mãn.

Ngoài ra: \(k2\pi :k\pi  = 2\) nên có \(2\) điểm biểu diễn cho cung lượng giác đó, đáp án B loại.

\(k2\pi :\dfrac{{k2\pi }}{3} = 3\) nên có \(3\) điểm biểu diễn và chúng là thành một tam giác đều.

\(k2\pi :\dfrac{{k\pi }}{3} = 6\) nên có \(6\) điểm biểu diễn và chúng làm thành một lục giác đều.

\(M\) là điểm biểu diễn của cung lượng giác \(\alpha  =  - {15^0}.\)

\( \Rightarrow \) Số đo cung lượng giác biểu diễn bởi điểm \(M\) \( =  - {15^o} + k{.360^o}\,\,\,\,\,\,\,(k \in \mathbb{Z})\)

Dễ thấy để cung có số đo dương nhỏ nhất \( \Leftrightarrow k = 1\)

Khi đó số đo cung là \( - {15^o} + {360^o} = {345^o}\) 

Dễ thấy \(OA = OM = AM = 1 \Rightarrow \Delta OAM\)  đều \( \Rightarrow \angle AOM = {60^o} = \dfrac{\pi }{3}\)

Vì M nằm dưới trục hoành \( \Rightarrow \) Số đo cung AM \( =  - \dfrac{\pi }{3} + k2\pi ,\,\,\,\,k \in \mathbb{Z}\)