Tìm \(m\) để phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 2 = 0\) có nghiệm âm.

+) \(m = 0\): PT \(\left( 1 \right)\) trở thành: \( - 2x + 2 = 0\)\( \Leftrightarrow x = 1 > 0\) (không thỏa mãn)

+) \(m \ne 0\)

\(\Delta  = 4{\left( {m + 1} \right)^2} - 4.m.2\)\( = 4{m^2} + 4 > 0\) với mọi \(m\)
\( \Rightarrow \) Phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt với \(m \ne 0\).

PT \(\left( 1 \right)\) có \(1\) nghiệm âm \( \Leftrightarrow \)PT \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm trái dấu \( \Leftrightarrow \)\(ac < 0 \Leftrightarrow 2m < 0\)\( \Leftrightarrow m < 0\).

PT \(\left( 1 \right)\) có \(2\) nghiệm âm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P > 0\\S < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{2}{m} > 0\\\dfrac{{2\left( {m + 1} \right)}}{m} < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\ - 1 < m < 0\end{array} \right.\,\,\,\left( {ktm} \right)\)

Vậy \(m < 0\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm âm.