Tìm $m$ để phương trình $m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 2 = 0$ có nghiệm âm.

+) $m = 0$: PT $\left( 1 \right)$ trở thành: $- 2x + 2 = 0$$\Leftrightarrow x = 1 > 0$ (không thỏa mãn)

+) $m \ne 0$

$\Delta  = 4{\left( {m + 1} \right)^2} - 4.m.2$$= 4{m^2} + 4 > 0$ với mọi $m$
$\Rightarrow$ Phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt với $m \ne 0$.

PT $\left( 1 \right)$ có $1$ nghiệm âm $\Leftrightarrow$PT $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow$$ac < 0 \Leftrightarrow 2m < 0$$\Leftrightarrow m < 0$.

PT $\left( 1 \right)$ có $2$ nghiệm âm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P > 0\\S < 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{2}{m} > 0\\\dfrac{{2\left( {m + 1} \right)}}{m} < 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\ - 1 < m < 0\end{array} \right.\,\,\,\left( {ktm} \right)$

Vậy $m < 0$ thì phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm âm.