Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[ { - 10;10} \right]$ để phương trình \(m{x^2} - mx + 1 = 0\) có nghiệm.
Nếu \(m = 0\) thì phương trình trở thành \(1 = 0\): vô nghiệm.
Khi \(m\not = 0,\) phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
\(\Delta = {m^2} - 4m \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le 0\\m \ge 4\end{array} \right.\)
Kết hợp điều kiện \(m\not = 0,\) ta được \(\left[ \begin{array}{l}m < 0\\m \ge 4\end{array} \right.\)
Mà $m \in \mathbb{Z}$ và $m \in \left[ { - 10;10} \right]$\( \Rightarrow m \in \left\{ { - 10; - 9; - 8;...; - 1} \right\} \cup \left\{ {4;5;6;...;10} \right\}\).
Vậy có tất cả $17$ giá trị nguyên $m$ thỏa mãn bài toán.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $3{x^2} - \left( {m + 2} \right)x + m - 1 = 0$ có một nghiệm gấp đôi nghiệm còn lại.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta > 0\)
\( \Leftrightarrow {m^2} - 8m + 16 > 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 4} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow m\not = 4.\)$\left( * \right)$
Theo định lí Viet, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{{m - 1}}{3};\,{x_1} + {x_2} = \dfrac{{m + 2}}{3}\\{x_1} = 2{x_2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{2}{9}\left( {m + 2} \right),\,{x_2} = \dfrac{1}{9}\left( {m + 2} \right)\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{{m - 1}}{3}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \dfrac{2}{{81}}{\left( {m + 2} \right)^2} = \dfrac{{m - 1}}{3}\)\( \Leftrightarrow 2{m^2} - 19m + 35 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{5}{2}\\m = 7\end{array} \right.\)(thỏa mãn$\left( * \right)$).
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $3{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3m - 5 = 0$ có một nghiệm gấp ba nghiệm còn lại.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0\)
\( \Leftrightarrow {m^2} - 7m + 16 > 0 \Leftrightarrow {\left( {m - \dfrac{7}{2}} \right)^2} + \dfrac{{15}}{4} > 0,\forall m \in \mathbb{R}.\)
Theo định lí Viet, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{{3m - 5}}{3};\,{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2\left( {m + 1} \right)}}{3}\\{x_1} = 3{x_2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{m + 1}}{2},\,{x_2} = \dfrac{{m + 1}}{6}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{{3m - 5}}{3}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \dfrac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{{12}} = \dfrac{{3m - 5}}{3}\)\( \Leftrightarrow {m^2} - 10m + 21 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = 7\end{array} \right.\)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hai đồ thị hàm số \(y = - {x^2} - 2x + 3\) và \(y = {x^2} - m\) có điểm chung.
Phương trình hoành độ giao điểm \( - {x^2} - 2x + 3 = {x^2} - m\)
\( \Leftrightarrow 2{x^2} + 2x - m - 3 = 0\). $\left( * \right)$
Để hai đồ thị hàm số có điểm chung khi và chỉ khi phương trình $\left( * \right)$ có nghiệm
$ \Leftrightarrow {\Delta ^/} = 1 - 2\left( { - m - 3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - \dfrac{7}{2}.$
Nếu \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c,{\rm{ }}d\) là các số thực khác \(0\), biết \(c\) và \(d\) là nghiệm của phương trình \({x^2} + ax + b = 0\) và \(a,{\rm{ }}b\) là nghiệm của phương trình \({x^2} + cx + d = 0\) thì \(a + b + c + d\) bằng:
\(c\) và \(d\) là nghiệm của phương trình\({x^2} + ax + b = 0\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c + d = - a\;\;\;\left( 1 \right)\\cd = b\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
\(a,{\rm{ }}b\) là nghiệm của phương trình \({x^2} + cx + d = 0\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = - c\;\;\;\left( 3 \right)\\ab = d\;\;\;\;\;\;\;\left( 4 \right)\end{array} \right.\)
\(\left( 3 \right);\left( 4 \right);\left( 1 \right)\) \( \Rightarrow - a - b + ab = - a\) \( \Rightarrow - b + ab = 0\) \( \Rightarrow a = 1\)
\(\left( 3 \right);\left( 4 \right);\left( 2 \right)\) \( \Rightarrow \left( {a + b} \right)ab = - b\) \( \Rightarrow \left( {a + b} \right)a = - 1\) \( \Rightarrow b = - 2\) \( \Rightarrow c = 1\), \(d = - 2\)
\( \Rightarrow a + b + c + d = - 2\)
Cho phương trình ${x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 2 = 0$ với $m$ là tham số. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm ${x_1};\,\,{x_2}$ sao cho $\left| {x_1^4 - x_2^4} \right| = 16{m^2} + 64m$
Ta có \(\left| {x_1^4 - x_2^4} \right| = \left| {\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)\left( {x_1^2 - x_2^2} \right)} \right| = \left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]\left| {{x_1} - {x_2}} \right|\left| {{x_1} + {x_2}} \right|\)
Mà
$\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} = \sqrt {{{\left( {2m + 2} \right)}^2} - 4\left( {{m^2} + 2} \right)} = \sqrt {8m - 4} $
Suy ra
\(\left| {x_1^4 - x_2^4} \right| = \left[ {{{\left( {2m + 2} \right)}^2} - 2\left( {{m^2} + 2} \right)} \right]\sqrt {8m - 4} \left| {2m + 2} \right|\)
$ = \left( {2{m^2} + 8m} \right)\sqrt {8m - 4} \left| {2m + 2} \right|$
Suy ra $\left| {x_1^4 - x_2^4} \right| = 16{m^2} + 64m \Leftrightarrow \left( {2{m^2} + 8m} \right)\sqrt {8m - 4} \left| {2m + 2} \right| = 16{m^2} + 64m$
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 4m} \right)\left( {\sqrt {8m - 4} \left| {2m + 2} \right| - 8} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^2} + 4m = 0\,\,(1)}\\{\sqrt {8m - 4} \left| {2m + 2} \right| = 8\,\,(2)}\end{array}} \right.\end{array}\)
Ta có $\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 0}\\{m = - 4}\end{array}} \right.$ (loại)
$\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left( {8m - 4} \right){\left( {2m + 2} \right)^2} = 64 \Leftrightarrow 32{m^3} + 48{m^2} - 80 = 0$
$ \Leftrightarrow m = 1$ (thỏa mãn (*))
Vậy $m = 1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cho phương trình ${x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 2 = 0$ với $m$ là tham số. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm ${x_1};\,\,{x_2}$ sao cho $A = {x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 6$ đạt giá trị nhỏ nhất
Ta có $A = {x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 6 = {m^2} + 2 - 2\left( {2m + 2} \right) - 6 = {m^2} - 4m - 8$
$ \Rightarrow A = {\left( {m - 2} \right)^2} - 12 \ge - 12$
Suy ra $\min A = - 12 \Leftrightarrow m = 2$ , $m = 2$ thỏa mãn (*)
Vậy với $m = 2$ thì biểu thức \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {5{m^2} - 4} \right)x = 2m + x\\ \Leftrightarrow \left( {5{m^2} - 4} \right)x - 2m - x = 0\\ \Leftrightarrow \left( {5{m^2} - 5} \right)x - 2m = 0\end{array}\)
Phương trình trên có nghiệm
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 5{m^2} - 5 \ne 0\\ \Leftrightarrow 5\left( {{m^2} - 1} \right) \ne 0\\ \Leftrightarrow {m^2} \ne 1\\ \Leftrightarrow m \ne \pm 1\end{array}\)
\(\left( P \right):\,\,y = a{x^2} + bx + c\) có a < 0 và tọa độ đỉnh là (2;5) hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 5 khi x = 2.
Do đó \(a{x^2} + bx + c \le 5\,\,\forall x\).
Vậy phương trình \(a{x^2} + bx + c = m\) vô nghiệm khi và chỉ khi m > 5.
Số các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn \(\left[ { - 5;5} \right]\) để phương trình \({x^2} + 4mx + {m^2} = 0\) có hai nghiệm âm phân biệt
Ta có \(\Delta ' = {\left( {2m} \right)^2} - {m^2} = \)\(4{m^2} - {m^2} = 3{m^2}\)
Theo hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = - 4m\\P = {x_1}.{x_2} = {m^2}\end{array} \right.\)
Phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{m^2} > 0\\ - 4m < 0\\{m^2} > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow m > 0\)
Mà \(m \in \left[ { - 5;5} \right],m \in \mathbb{Z}\)\( \Rightarrow m \in \left\{ { 1;2;3;4;5} \right\}\)
Có 5 giá trị m thỏa mãn đề bài.
Phương trình \({x^2} + \left( {m + 1} \right)x + m - 2 = 0\) (với m là tham số) có hai nghiệm trái dấu khi
Phương trình\({x^2} + \left( {m + 1} \right)x + m - 2 = 0\) có 2 nghiệm trái dấu khi \(ac < 0\) \( \Leftrightarrow m - 2 < 0\) \( \Leftrightarrow m < 2\)
Do \({x_1};\,{x_2}\) là các nghiệm của phương trình \({x^2} + 4x - 15 = 0\) nên áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 4\\{x_1}{x_2} = - 15\end{array} \right.\).
Vậy \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \)\( = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} - 4.\left( { - 15} \right)} \)\( = \sqrt {76} \).Phương trình $ax + b = 0$ có nghiệm khi:
Phương trình $ax + b = 0$ có nghiệm nếu nó có nghiệm duy nhất hoặc vô số nghiệm.
- Phương trình $ax + b = 0$ có nghiệm duy nhất nếu $a \ne 0$.
- Phương trình $ax + b = 0$ vô số nghiệm nếu $a = b = 0$.
Vậy phương trình $ax + b = 0$ có nghiệm nếu $\left[ \begin{array}{l}a = b = 0\\a \ne 0\end{array} \right.$.
Cho hai phương trình \({x^2} - mx + 2 = 0\) và\({x^2} + 2x - m = 0\). Có bao nhiêu giá trị của \(m\) để một nghiệm của phương trình này và một nghiệm của phương trình kia có tổng là \(3\)?
Gọi \({x_0}\) là một nghiệm của phương trình \({x^2} - mx + 2 = 0.\)
Suy ra \(3 - {x_0}\) là một nghiệm của phương trình \({x^2} + 2x - m = 0.\)
Khi đó, ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x_0^2 - m{x_0} + 2 = 0\\{\left( {3 - {x_0}} \right)^2} + 2\left( {3 - {x_0}} \right) - m = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_0^2 - m{x_0} + 2 = 0.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\m = x_0^2 - 8{x_0} + 15.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Thay \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 1 \right),\) ta được \(x_0^2 - \left( {x_0^2 - 8{x_0} + 15} \right){x_0} + 2 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{x_0} = \dfrac{{7 \pm 3\sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\)cho ta \(3\) giá trị của \(m\) cần tìm.
Ta có: \({x^2} = 4 \Leftrightarrow \left| x \right| = 2\)
\( \Rightarrow \) Đáp án A đúng.
Cho phương trình $ax + b = 0$. Chọn mệnh đề đúng:
- Nếu $a \ne 0$ thì phương trình có nghiệm \(x = - \dfrac{b}{a}\).
- Nếu $a = 0$ và \(b = 0\) thì phương trình có vô số nghiệm.
- Nếu $a = 0$ và \(b \ne 0\) thì phương trình vô nghiệm.
Từ đó C đúng.
Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:
- TH1: Nếu \(a \ne 0\) thì phương trình có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow \Delta = 0\).
- TH2: Nếu \(a = 0\) thì phương trình trở thành \(bx + c = 0\) có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow b \ne 0\).
Phương trình ${x^2} - \left( {2 + \sqrt 3 } \right)x + 2\sqrt 3 = 0$:
Ta có:
${x^2} - \left( {2 + \sqrt 3 } \right)x + 2\sqrt 3 = 0$ $\Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2x} \right) - \left( {\sqrt 3 x - 2\sqrt 3 } \right) = 0$ $\Leftrightarrow x\left( {x - 2} \right) - \sqrt 3 \left( {x - 2} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x - \sqrt 3 } \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = \sqrt 3 \end{array} \right.$
Vậy phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
Phương trình ${x^2} + m = 0$ có nghiệm khi và chỉ khi:
Xét ${x^2} + m = 0$
Phương trình có nghiệm khi \(\Delta \ge 0 \Leftrightarrow - 4m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 0\) .
Cho phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$$\left( 1 \right)$. Đặt \(S = - \dfrac{b}{a},P = \dfrac{c}{a}\), hãy chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
Đáp án A: Nếu \(P < 0 \Rightarrow ac < 0\) nên phương trình có hai nghiệm trái dấu.
Đáp án B: Ta xét phương trình \({x^2} + x + 1 = 0\) có \(P = 1 > 0,S < 0\) nhưng lại vô nghiệm nên B sai.
Đáp án C, D: Nếu \(\Delta > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt. khi đó \(S,P\) lần lượt là tổng và tích hai nghiệm của phương trình. Do đó:
+) Nếu $P > 0$ và $S < 0$ thì $\left( 1 \right)$ có $2$ nghiệm âm phân biệt.
+) Nếu $P > 0$ và $S > 0$ thì $\left( 1 \right)$ có $2$ nghiệm dương phân biệt.
