Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn

Nếu $m = 0$ thì phương trình trở thành $1 = 0$: vô nghiệm.

Khi $m\not  = 0,$ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi

      $\Delta  = {m^2} - 4m \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le 0\\m \ge 4\end{array} \right.$

Kết hợp điều kiện $m\not  = 0,$ ta được $\left[ \begin{array}{l}m < 0\\m \ge 4\end{array} \right.$

Mà $m \in \mathbb{Z}$ và $m \in \left[ { - 10;10} \right]$$\Rightarrow m \in \left\{ { - 10; - 9; - 8;...; - 1} \right\} \cup \left\{ {4;5;6;...;10} \right\}$.

Vậy có tất cả $17$ giá trị nguyên $m$ thỏa mãn bài toán.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta  > 0$

$\Leftrightarrow {m^2} - 8m + 16 > 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 4} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow m\not  = 4.$$\left( * \right)$

Theo định lí Viet, ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{{m - 1}}{3};\,{x_1} + {x_2} = \dfrac{{m + 2}}{3}\\{x_1} = 2{x_2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{2}{9}\left( {m + 2} \right),\,{x_2} = \dfrac{1}{9}\left( {m + 2} \right)\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{{m - 1}}{3}\end{array} \right.$

$\Rightarrow \dfrac{2}{{81}}{\left( {m + 2} \right)^2} = \dfrac{{m - 1}}{3}$$\Leftrightarrow 2{m^2} - 19m + 35 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{5}{2}\\m = 7\end{array} \right.$(thỏa mãn$\left( * \right)$).

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta ' > 0$

$\Leftrightarrow {m^2} - 7m + 16 > 0 \Leftrightarrow {\left( {m - \dfrac{7}{2}} \right)^2} + \dfrac{{15}}{4} > 0,\forall m \in \mathbb{R}.$

Theo định lí Viet, ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{{3m - 5}}{3};\,{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2\left( {m + 1} \right)}}{3}\\{x_1} = 3{x_2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{m + 1}}{2},\,{x_2} = \dfrac{{m + 1}}{6}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{{3m - 5}}{3}\end{array} \right.$

$\Rightarrow \dfrac{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{{12}} = \dfrac{{3m - 5}}{3}$$\Leftrightarrow {m^2} - 10m + 21 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = 7\end{array} \right.$

Phương trình hoành độ giao điểm $- {x^2} - 2x + 3 = {x^2} - m$

$\Leftrightarrow 2{x^2} + 2x - m - 3 = 0$.    $\left( * \right)$

Để hai đồ thị hàm số có điểm chung khi và chỉ khi phương trình $\left( * \right)$ có nghiệm

$\Leftrightarrow {\Delta ^/} = 1 - 2\left( { - m - 3} \right) \ge 0 \Leftrightarrow m \ge  - \dfrac{7}{2}.$

$c$ và $d$ là nghiệm của phương trình${x^2} + ax + b = 0$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c + d =  - a\;\;\;\left( 1 \right)\\cd = b\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)\end{array} \right.$

$a,{\rm{ }}b$ là nghiệm của phương trình ${x^2} + cx + d = 0$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b =  - c\;\;\;\left( 3 \right)\\ab = d\;\;\;\;\;\;\;\left( 4 \right)\end{array} \right.$

$\left( 3 \right);\left( 4 \right);\left( 1 \right)$ $\Rightarrow  - a - b + ab =  - a$ $\Rightarrow  - b + ab = 0$ $\Rightarrow a = 1$

$\left( 3 \right);\left( 4 \right);\left( 2 \right)$ $\Rightarrow \left( {a + b} \right)ab =  - b$ $\Rightarrow \left( {a + b} \right)a =  - 1$ $\Rightarrow b =  - 2$ $\Rightarrow c = 1$, $d =  - 2$

$\Rightarrow a + b + c + d =  - 2$

Ta có $\left| {x_1^4 - x_2^4} \right| = \left| {\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)\left( {x_1^2 - x_2^2} \right)} \right| = \left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]\left| {{x_1} - {x_2}} \right|\left| {{x_1} + {x_2}} \right|$

Mà

$\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}}  = \sqrt {{{\left( {2m + 2} \right)}^2} - 4\left( {{m^2} + 2} \right)}  = \sqrt {8m - 4}$

Suy ra

$\left| {x_1^4 - x_2^4} \right| = \left[ {{{\left( {2m + 2} \right)}^2} - 2\left( {{m^2} + 2} \right)} \right]\sqrt {8m - 4} \left| {2m + 2} \right|$

$= \left( {2{m^2} + 8m} \right)\sqrt {8m - 4} \left| {2m + 2} \right|$

Suy ra $\left| {x_1^4 - x_2^4} \right| = 16{m^2} + 64m \Leftrightarrow \left( {2{m^2} + 8m} \right)\sqrt {8m - 4} \left| {2m + 2} \right| = 16{m^2} + 64m$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 4m} \right)\left( {\sqrt {8m - 4} \left| {2m + 2} \right| - 8} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^2} + 4m = 0\,\,(1)}\\{\sqrt {8m - 4} \left| {2m + 2} \right| = 8\,\,(2)}\end{array}} \right.\end{array}$

Ta có $\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 0}\\{m =  - 4}\end{array}} \right.$ (loại)

$\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left( {8m - 4} \right){\left( {2m + 2} \right)^2} = 64 \Leftrightarrow 32{m^3} + 48{m^2} - 80 = 0$

$\Leftrightarrow m = 1$ (thỏa mãn (*))

Vậy $m = 1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có $A = {x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 6 = {m^2} + 2 - 2\left( {2m + 2} \right) - 6 = {m^2} - 4m - 8$

$\Rightarrow A = {\left( {m - 2} \right)^2} - 12 \ge  - 12$

Suy ra $\min A =  - 12 \Leftrightarrow m = 2$ , $m = 2$  thỏa mãn (*)

Vậy với $m = 2$  thì biểu thức $A$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {5{m^2} - 4} \right)x = 2m + x\\ \Leftrightarrow \left( {5{m^2} - 4} \right)x - 2m - x = 0\\ \Leftrightarrow \left( {5{m^2} - 5} \right)x - 2m = 0\end{array}$

Phương trình trên có nghiệm

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 5{m^2} - 5 \ne 0\\ \Leftrightarrow 5\left( {{m^2} - 1} \right) \ne 0\\ \Leftrightarrow {m^2} \ne 1\\ \Leftrightarrow m \ne  \pm 1\end{array}$  

$\left( P \right):\,\,y = a{x^2} + bx + c$ có a < 0 và tọa độ đỉnh là (2;5) hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 5 khi x = 2.

Do đó $a{x^2} + bx + c \le 5\,\,\forall x$.

Vậy phương trình $a{x^2} + bx + c = m$ vô nghiệm khi và chỉ khi m > 5.

Ta có $\Delta ' = {\left( {2m} \right)^2} - {m^2} =$$4{m^2} - {m^2} = 3{m^2}$

Theo hệ thức Vi-et ta có: $\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} =  - 4m\\P = {x_1}.{x_2} = {m^2}\end{array} \right.$

Phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{m^2} > 0\\ - 4m < 0\\{m^2} > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow m > 0$

Mà $m \in \left[ { - 5;5} \right],m \in \mathbb{Z}$$\Rightarrow m \in \left\{ { 1;2;3;4;5} \right\}$

Có 5 giá trị m  thỏa mãn đề bài.

Phương trình${x^2} + \left( {m + 1} \right)x + m - 2 = 0$  có 2 nghiệm trái dấu khi $ac < 0$ $\Leftrightarrow m - 2 < 0$ $\Leftrightarrow m < 2$

Do ${x_1};\,{x_2}$ là các nghiệm của phương trình ${x^2} + 4x - 15 = 0$ nên áp dụng định lí Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 4\\{x_1}{x_2} =  - 15\end{array} \right.$.

Phương trình $ax + b = 0$ có nghiệm nếu nó có nghiệm duy nhất hoặc vô số nghiệm.

- Phương trình $ax + b = 0$ có nghiệm duy nhất nếu $a \ne 0$.

- Phương trình $ax + b = 0$ vô số nghiệm nếu $a = b = 0$.

Vậy phương trình $ax + b = 0$ có nghiệm nếu $\left[ \begin{array}{l}a = b = 0\\a \ne 0\end{array} \right.$.

Gọi ${x_0}$ là một nghiệm của phương trình ${x^2} - mx + 2 = 0.$

Suy ra $3 - {x_0}$ là một nghiệm của phương trình ${x^2} + 2x - m = 0.$

Khi đó, ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l}x_0^2 - m{x_0} + 2 = 0\\{\left( {3 - {x_0}} \right)^2} + 2\left( {3 - {x_0}} \right) - m = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_0^2 - m{x_0} + 2 = 0.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\m = x_0^2 - 8{x_0} + 15.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Thay $\left( 2 \right)$ vào $\left( 1 \right),$ ta được $x_0^2 - \left( {x_0^2 - 8{x_0} + 15} \right){x_0} + 2 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{x_0} = \dfrac{{7 \pm 3\sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.$cho ta $3$ giá trị của $m$ cần tìm.

Ta có: ${x^2} = 4 \Leftrightarrow \left| x \right| = 2$

$\Rightarrow$ Đáp án A đúng. 

- Nếu  $a \ne 0$ thì phương trình có nghiệm $x =  - \dfrac{b}{a}$.

- Nếu  $a = 0$ và $b = 0$ thì phương trình có vô số nghiệm.

- Nếu  $a = 0$ và $b \ne 0$ thì phương trình vô nghiệm.

Từ đó C đúng.

- TH1: Nếu $a \ne 0$ thì phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow \Delta  = 0$.

- TH2: Nếu $a = 0$ thì phương trình trở thành $bx + c = 0$ có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow b \ne 0$.

Ta có:

${x^2} - \left( {2 + \sqrt 3 } \right)x + 2\sqrt 3  = 0$ $\Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2x} \right) - \left( {\sqrt 3 x - 2\sqrt 3 } \right) = 0$ $\Leftrightarrow x\left( {x - 2} \right) - \sqrt 3 \left( {x - 2} \right) = 0$ $\Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x - \sqrt 3 } \right) = 0$ $\Leftrightarrow  \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = \sqrt 3 \end{array} \right.$

Vậy phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.

Xét ${x^2} + m = 0$

Phương trình có nghiệm khi $\Delta  \ge 0 \Leftrightarrow  - 4m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 0$ .

Đáp án A: Nếu $P < 0 \Rightarrow ac < 0$ nên phương trình có hai nghiệm trái dấu.

Đáp án B: Ta xét phương trình ${x^2} + x + 1 = 0$ có $P = 1 > 0,S < 0$ nhưng lại vô nghiệm nên B sai.

Đáp án C, D: Nếu $\Delta  > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt. khi đó $S,P$ lần lượt là tổng và tích hai nghiệm của phương trình. Do đó:

+) Nếu $P > 0$ và  $S < 0$ thì $\left( 1 \right)$ có $2$ nghiệm âm phân biệt.

+) Nếu $P > 0$ và  $S > 0$ thì $\left( 1 \right)$ có $2$ nghiệm dương phân biệt.