Cho phương trình ${x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 2 = 0$ với $m$ là tham số. Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm ${x_1};\,\,{x_2}$ sao cho $\left| {x_1^4 - x_2^4} \right| = 16{m^2} + 64m$

Ta có \(\left| {x_1^4 - x_2^4} \right| = \left| {\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)\left( {x_1^2 - x_2^2} \right)} \right| = \left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]\left| {{x_1} - {x_2}} \right|\left| {{x_1} + {x_2}} \right|\)

Mà

$\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}}  = \sqrt {{{\left( {2m + 2} \right)}^2} - 4\left( {{m^2} + 2} \right)}  = \sqrt {8m - 4} $

Suy ra

\(\left| {x_1^4 - x_2^4} \right| = \left[ {{{\left( {2m + 2} \right)}^2} - 2\left( {{m^2} + 2} \right)} \right]\sqrt {8m - 4} \left| {2m + 2} \right|\)

$ = \left( {2{m^2} + 8m} \right)\sqrt {8m - 4} \left| {2m + 2} \right|$

Suy ra $\left| {x_1^4 - x_2^4} \right| = 16{m^2} + 64m \Leftrightarrow \left( {2{m^2} + 8m} \right)\sqrt {8m - 4} \left| {2m + 2} \right| = 16{m^2} + 64m$

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 4m} \right)\left( {\sqrt {8m - 4} \left| {2m + 2} \right| - 8} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^2} + 4m = 0\,\,(1)}\\{\sqrt {8m - 4} \left| {2m + 2} \right| = 8\,\,(2)}\end{array}} \right.\end{array}\)

Ta có $\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 0}\\{m =  - 4}\end{array}} \right.$ (loại)

$\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left( {8m - 4} \right){\left( {2m + 2} \right)^2} = 64 \Leftrightarrow 32{m^3} + 48{m^2} - 80 = 0$

$ \Leftrightarrow m = 1$ (thỏa mãn (*))

Vậy $m = 1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.