Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn

Ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left( {5{m^2} - 4} \right)x = 2m + x\\ \Leftrightarrow \left( {5{m^2} - 4} \right)x - 2m - x = 0\\ \Leftrightarrow \left( {5{m^2} - 5} \right)x - 2m = 0\end{array}$

Phương trình trên có nghiệm

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 5{m^2} - 5 \ne 0\\ \Leftrightarrow 5\left( {{m^2} - 1} \right) \ne 0\\ \Leftrightarrow {m^2} \ne 1\\ \Leftrightarrow m \ne  \pm 1\end{array}$ 

Phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 = 0\\m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1$.

Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow m \ne 1$.

Với $m \ne 1$, phương trình có nghiệm duy nhất $x = \dfrac{m}{{m - 1}}$.

Phương trình có nghiệm thuộc $\left[ {1;3} \right]$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ne 0\\x = \dfrac{m}{{m - 1}} \in \left[ {1;3} \right]\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\1 \le \dfrac{m}{{m - 1}} \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\\dfrac{m}{{m - 1}} - 1 \ge 0\\\dfrac{m}{{m - 1}} - 3 \le 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\\dfrac{1}{{m - 1}} \ge 0\\\dfrac{{ - 2m + 3}}{{m - 1}} \le 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m - 1 > 0\\ - 2m + 3 \le 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow m \ge \dfrac{3}{2}$

Hoành độ giao điểm của $y = {x^2} + 2x + 2$ và $y =  - {x^2} + x - m$ là nghiệm của phương trình ${x^2} + 2x + 2 =  - {x^2} + x - m$

$\Leftrightarrow 2{x^2} + x + 2 + m = 0$(1)

$\Delta  =  - 8m - 15$

Hai parabol cắt nhau tại 2 điểm phân biệt có hoành độ âm $\Leftrightarrow$(1) có 2 nghiệm phân biệt âm.

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 8m - 15 > 0\\\dfrac{{2 + m}}{2} > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m <  - \dfrac{{15}}{8}\\m >  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 2 < m <  - \dfrac{{15}}{8}\end{array}$

TH1: $m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1$$\Rightarrow 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 2}}{3}$

TH2: $m \ne 1$

Để phương trình $\left( {m - 1} \right){x^2} + 3x + 2 = 0$ có nghiệm

thì $\Delta  = {b^2} - 4ac \ge 0$$\Rightarrow \Delta  = 9 - 4.\left( {m - 1} \right).2 \ge 0$$\Rightarrow m \le \dfrac{{17}}{8},m \ne 1$

Kết hợp cả 2 trường hợp, phương trình có nghiệm khi $m \le \dfrac{{17}}{8}$

Để phương trình $\left( {{m^2} - 1} \right)x + m + 1 = 0$ có nghiệm duy nhất thì ${m^2} - 1 \ne 0$$\Leftrightarrow {m^2} \ne {\rm{1}}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ne  - 1\end{array} \right.$     

Để phương trình $\left( {m + 2} \right){x^2} - 2mx + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt trái dấu thì $m + 2 < 0 \Leftrightarrow m <  - 2$

Vậy $m \in \left( { - \infty ; - 2} \right).$

+) $m = 0$: PT $\left( 1 \right)$ trở thành: $- 2x + 2 = 0$$\Leftrightarrow x = 1 > 0$ (không thỏa mãn)

+) $m \ne 0$

$\Delta  = 4{\left( {m + 1} \right)^2} - 4.m.2$$= 4{m^2} + 4 > 0$ với mọi $m$
$\Rightarrow$ Phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt với $m \ne 0$.

PT $\left( 1 \right)$ có $1$ nghiệm âm $\Leftrightarrow$PT $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow$$ac < 0 \Leftrightarrow 2m < 0$$\Leftrightarrow m < 0$.

PT $\left( 1 \right)$ có $2$ nghiệm âm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}P > 0\\S < 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{2}{m} > 0\\\dfrac{{2\left( {m + 1} \right)}}{m} < 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 0\\ - 1 < m < 0\end{array} \right.\,\,\,\left( {ktm} \right)$

Vậy $m < 0$ thì phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm âm.

Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\left( {a > 0} \right)$ có nghiệm duy nhất nếu $\Delta  = {b^2} - 4ac = 0 \Leftrightarrow {b^2} = ac$.

Xét các đáp án:

- Đáp án A. Ta có ${\left( { - 1} \right)^2} + 4.\left( { - 1} \right) + 2 =  - 1 \ne 0$.

- Đáp án B. Ta có $2.{\left( { - 1} \right)^2} - 5.\left( { - 1} \right) - 7 = 0$.

- Đáp án C. Ta có $- 3.{\left( { - 1} \right)^2} + 5.\left( { - 1} \right) - 2 =  - 10 \ne 0$.

- Đáp án D. Ta có ${\left( { - 1} \right)^3} - 1 =  - 2 \ne 0$.

Phương trình có nghiệm khi ${\Delta ^/} = {m^2} - 144 \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} \ge {12^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 12\\m \le  - 12\end{array} \right.$

Mà $m \in \mathbb{Z}$ và $m \in \left[ { - 20;20} \right]$$\Rightarrow S = \left\{ { - 20; - 19; - 18;...; - 12;12;13;14;...;20} \right\}$

Do đó tổng các phần tử trong tập $S$ bằng $0.$

Phương trình $\left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m + 4 = 0$ có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  > 0\\{x_1}{x_2} > 0\\{x_1} + {x_2} > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ne 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\4{\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( {m - 1} \right)\left( {m + 4} \right) > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\\dfrac{{m + 4}}{{m - 1}} > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\\\dfrac{{m + 1}}{{m - 1}} > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.$

Giải $\left( 1 \right)$: $m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1$

Giải $\left( 2 \right)$:

$\begin{array}{l}4{\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( {m - 1} \right)\left( {m + 4} \right) > 0\\ \Leftrightarrow \left( {4{m^2} + 8m + 4} \right) - \left( {4m - 4} \right)\left( {m + 4} \right) > 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 8m + 4 - 4{m^2} - 16m + 4m + 16 > 0\\ \Leftrightarrow  - 4m + 20 > 0\\ \Leftrightarrow m < 5\end{array}$

Giải $\left( 3 \right)$:

$\dfrac{{m + 4}}{{m - 1}} > 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m + 4 > 0\\m - 1 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m + 4 < 0\\m - 1 < 0\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m >  - 4\\m > 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m <  - 4\\m < 1\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m <  - 4\end{array} \right.$

Giải $\left( 4 \right)$:

$\dfrac{{m + 1}}{{m - 1}} > 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m + 1 > 0\\m - 1 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m + 1 < 0\\m - 1 < 0\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m >  - 1\\m > 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m <  - 1\\m < 1\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m <  - 1\end{array} \right.$

Kết hợp cả $4$ điều kiện ta được $m <  - 4$ hoặc $1 < m < 5$.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $\Delta  > 0$.

Khi đó, gọi hai nghiệm của phương trình là ${x_1}$ và ${x_2}$.

Do ${x_1}$ và ${x_2}$ là hai nghiệm dương nên $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} > 0\\{x_1}{x_2} > 0\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}S > 0\\P > 0\end{array} \right.$.

Vì phương trình đã cho có nghiệm bằng $3$ nên thay $x = 3$ vào phương trình, ta được $9 - 12 + m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = 2.$

Với $m = 2$ phương trình trở thành ${x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right..$

Phương trình ${m^2}x + m - 3 = 0$ là phương trình bậc nhất khi và chỉ khi:

$a = {m^2} \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 0$.

Phương trình viết lại $\left( {3{m^2} - m - 2} \right)x = 1 - m$.

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi $3{m^2} - m - 2 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ne  - \dfrac{2}{3}\end{array} \right.$

Do $m \in \mathbb{Z}$ và $m \in \left[ { - 5;10} \right]$ $\Rightarrow m \in \left\{ { - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0;2;3;4;5;6;7;8;9;10} \right\}.$

Do đó, tổng các phần tử trong $S$ bằng $39$.

Phương trình viết lại $\left( {{m^2} - 5m + 6} \right)x = m - 1$.

Phương trình vô nghiệm khi $\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 5m + 6 = 0\\m - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = 3\end{array} \right.\\m \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = 3\end{array} \right..$

Đồ thị hai hàm số không cắt nhau khi và chỉ khi phương trình

$\left( {m + 1} \right){x^2} + 3{m^2}x + m = \left( {m + 1} \right){x^2} + 12x + 2$ vô nghiệm

$\Leftrightarrow 3\left( {{m^2} - 4} \right)x = 2 - m$ vô nghiệm

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^2} - 4 = 0}\\{2 - m \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow } \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m =  \pm 2}\\{m \ne 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m =  - 2.$

Phương trình viết lại $\left( {{m^2} - 4} \right)x = 3m - 6$.

Phương trình đã cho vô nghiệm khi $\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4 = 0\\3m - 6 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  \pm 2\\m \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  - 2$.

Do đó, phương trình đã cho có nghiệm khi $m \ne  - 2$.

Phương trình đã cho nghiệm đúng với $\forall x \in \mathbb{R}$ hay phương trình có vô số nghiệm khi $\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 1 = 0\\m - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1$.

Phương trình đã cho nghiệm đúng với $\forall x \in \mathbb{R}$ hay phương trình có vô số nghiệm khi $\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 3m + 2 = 0\\ - \left( {{m^2} + 4m + 5} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 2\end{array} \right.\\m \in \emptyset \end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset$.