Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn

Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi  $\left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right.$ .

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = 2\\P = {x_1}.{x_2} =  - 1\end{array} \right.$$\Rightarrow pt:{x^2} - Sx + P = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 1 = 0$.

 Phương trình $\left( {{m^2} - m} \right)x + m - 3 = 0$ là phương trình bậc nhất khi và chỉ khi:

$a = {m^2} - m \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ne 0\end{array} \right.$.

Xét đáp án A : Khi $m = 2$ phương trình có dạng $0.x + 0 = 0$ có vô số nghiệm nên A sai.

Xét đáp án B: Khi $m \ne 1$ thì $m - 1 \ne 0$ nên phương trình $:\left( {m - 1} \right)x + 3m + 2 = 0$  có nghiệm duy nhất.

Xét đáp án C: Khi $m = 2$ thì phương trình là:

$\dfrac{{x - 2}}{{x - 2}} + \dfrac{{x - 3}}{x} = 3 \Leftrightarrow \dfrac{{x - 3}}{x} = 2 \Rightarrow x - 3 = 2x \Leftrightarrow x =  - 3\left( {TM} \right)$ nên C đúng.

Xét đáp án D: Khi $m \ne 2$ và $m \ne 0$ thì ${m^2} - 2m \ne 0$ nên phương trình $\left( {{m^2} - 2m} \right)x + m + 3 = 0\;$ có nghiệm.

Đáp án A: Phương trình: $3x + 5 = 0$ có nghiệm là $x =  - \dfrac{5}{3}$ nên A đúng.          

Phương trình: $0x - 7 = 0$ vô nghiệm nên B đúng.                                             

Phương trình : $0x + 0 = 0$ có vô số nghiệm hay có tập nghiệm $\mathbb{R}$ nên C đúng.

Ta có: $\left( {a-3} \right)x + b = 2$ $\Leftrightarrow \left( {a-3} \right)x + \left( {b - 2} \right) = 0$

Phương trình vô nghiệm khi $\left\{\begin{array}{l}a - 3=0\\b -2\ne 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b \ne 2\end{array} \right.$

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:

$\left[ \begin{array}{l}{m^2}-2m \ne 0\\{m^2}-2m = {m^2}-3m + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ne 2\end{array} \right.\\m = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ne 0$

Phương trình có vô số nghiệm khi $\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 3m + 2 = 0\\{m^2} + 4m + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset$

(do phương trình ${m^2} + 4m + 5 = 0$ vô nghiệm với mọi $m$

Với $m = 1$  ta được phương trình $3x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{3}$.

Với $m \ne 1$.

$\Delta ={3^2} + 4\left( {m - 1} \right)$

Phương trình $\left( {m-1} \right){x^2}{\rm{ + }}3x-1 = 0$ có nghiệm khi $\Delta  \ge 0$$\Leftrightarrow {3^2} + 4\left( {m - 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow m \ge  - \dfrac{5}{4}$.

Ta có:$\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 4mx - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} - 4mx - 4 = 0\end{array} \right.$

Phương trình có $3$ nghiệm phân biệt khi ${x^2} - 4mx - 4 = 0$ có $2$ nghiệm phân biệt khác $1$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta'  > 0\\f\left( 1 \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{m^2} + 4 > 0\\ - 4m - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ne  - \dfrac{3}{4}$.

- Xét phương trình $- {x^2} - 2x + 3 = {x^2} - m \Leftrightarrow 2{x^2} + 2x - m - 3 = 0\left( 1 \right)$.

- Hai đồ thị có hai điểm chung khi và chỉ khi phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt

 $\Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow 1 + 2m + 6 > 0$$\Leftrightarrow m >  - \dfrac{7}{2}$.

Gọi ${x_1},{x_2}$ là nghiệm của ${x^2}\; + {\rm{ }}px + {\rm{ }}q = 0$

Gọi ${x_3},{x_4}$ là nghiệm của ${x^2}\; + {\rm{ }}mx + {\rm{ }}n = 0$

- Khi đó, theo vi-et: ${x_1} + {x_2} =  - p$, ${x_3} + {x_4} =  - m$, ${x_3}.{x_4} = n$.

- Theo yêu cầu ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_3}^3\\{x_2} = {x_4}^3\end{array} \right.$$\Rightarrow {x_1} + {x_2} = {x_3}^3 + {x_4}^3$$\Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = {\left( {{x_3} + {x_4}} \right)^3} - 3{x_3}{x_4}\left( {{x_3} + {x_4}} \right)$

$\Rightarrow  - p =  - {m^3} + 3mn$$\Rightarrow p = {m^3} - 3mn$.

Ta có: ${x^2} - 2a\left( {x-1} \right)-1 = 0$$\Leftrightarrow {x^2} - 2ax + 2a - 1 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2a - 1\end{array} \right.$(do $1 + \left( { - 2a} \right) + 2a - 1 = 0$)

Yêu cầu bài toán ${x_1} + {x_2} = {x_1}^2 + {x_2}^2$$\Rightarrow {x_1} + {x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}$

$\Rightarrow 2a = 4{a^2} - 4a{\rm{ + 2}}$$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

Phương trình có hai nghiệm $\Leftrightarrow  \Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {{m^2} + 2} \right) = 2m + 1 \ge 0$ $\Leftrightarrow m \ge \dfrac{1}{2}$

$B = \sqrt {2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 16}  - 3{x_1}{x_2} = \sqrt {2{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2} + 16}  - 3{x_1}{x_2}$

$= \sqrt {2{{\left( {2m + 2} \right)}^2} - 4\left( {{m^2} + 2} \right) + 16}  - 3\left( {{m^2} + 2} \right) = \sqrt {4{m^2} + 16m + 16}  - 3\left( {{m^2} + 2} \right)$

$= 2m + 4 - 3\left( {{m^2} + 2} \right) =  - 3{m^2} + 2m - 2$

Xét hàm số $y =  - 3{m^2} + 2m - 2$  với $m \ge \dfrac{1}{2}$

Bảng biến thiên

Suy ra giá trị $\mathop {\max y}\limits_{m \ge \dfrac{1}{2}}  =  - \dfrac{7}{4}$ khi $m = \dfrac{1}{2}$

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $B$ là $- \dfrac{7}{4}$ khi $m = \dfrac{1}{2}$.

Gọi ${x_1};{x_2}$ là nghiệm của phương trình ${x^2}-2mx + 1 = 0\;$khi đó $\left\{ \begin{array}{l}\;{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}.{x_2} = 1\end{array} \right.$

Gọi ${x_3};{x_4}$ là nghiệm của phương trình ${x^2}-2x + m = 0$ khi đó $\;\left\{ \begin{array}{l}{x_3} + {x_4} = 2\\{x_3}.{x_4} = m\end{array} \right.$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{1}{{{x_3}}}\\{x_2} = \dfrac{1}{{{x_4}}}\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{1}{{{x_3}}} + \dfrac{1}{{{x_4}}}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{1}{{{x_3}.{x_4}}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{{x_3} + {x_4}}}{{{x_3}{x_4}}}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{1}{{{x_3}.{x_4}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m = \dfrac{2}{m}\\1 = \dfrac{1}{m}\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1$

Đặt $f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 4x + 5}}{{{x^2} + 3x + 3}} = A$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 5 = A\left( {{x^2} + 3x + 3} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 5 - A\left( {{x^2} + 3x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 5 - A{x^2} - 3Ax - 3A = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 - A} \right){x^2} + \left( {4 - 3A} \right)x + 5 - 3A = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}$

Phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta  \ge 0$

$\begin{array}{l}\Delta  \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {4 - 3A} \right)^2} - 4.\left( {1 - A} \right)\left( {5 - 3A} \right) \ge 0\\\, \Leftrightarrow \left( {16 - 24A + 9{A^2}} \right) - \left( {4 - 4A} \right)\left( {5 - 3A} \right) \ge 0\\\, \Leftrightarrow \left( {16 - 24A + 9{A^2}} \right) - \left( {20 - 12A - 20A + 12{A^2}} \right) \ge 0\\\, \Leftrightarrow 16 - 24A + 9{A^2} - 20 + 12A + 20A - 12{A^2} \ge 0\\\, \Leftrightarrow  - 3{A^2} + 8A - 4 \ge 0\\\, \Leftrightarrow 3{A^2} - 8A + 4 \le 0\\\, \Leftrightarrow \left( {A - 2} \right)\left( {3A - 2} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{2}{3} \le A \le 2\end{array}$

+) $A \ge \dfrac{2}{3} \Rightarrow Min\,A = \dfrac{2}{3}$

$A = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + 4x + 5}}{{{x^2} + 3x + 3}} = \dfrac{2}{3}$$\Leftrightarrow 3{x^2} + 12x + 15 = 2{x^2} + 6x + 6$$\Leftrightarrow {x^2} + 6x + 9 = 0$$\Leftrightarrow x =  - 3$

+) $A \le 2 \Rightarrow Max\,A = 2$

$A = 2 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + 4x + 5}}{{{x^2} + 3x + 3}} = 2$$\Leftrightarrow {x^2} + 4x + 5 = 2{x^2} + 6x + 6$$\Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 = 0$$\Leftrightarrow x =  - 1$

Vậy $Min\,f\left( x \right) = Min\,A = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow x =  - 1$; $Max\,f\left( x \right) = Max\,A = 2 \Leftrightarrow x =  - 1$

Khi đó, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}M = 2\\m = \dfrac{2}{3}\end{array} \right.$

$M + m = \dfrac{8}{3}$ $\Rightarrow$ Đáp án $A$ sai.

$Mm = \dfrac{4}{3}$ $\Rightarrow$ Đáp án $B$  sai.

$\dfrac{M}{m} = 3$ $\Rightarrow$ Đáp án $C$  sai.

$M - m = \dfrac{4}{3}$ $\Rightarrow$ Đáp án$D$ đúng.

Phương trình $\left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m + 4 = 0$ có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi

$\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta  > 0\\P> 0\\S > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ne 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\4{\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( {m - 1} \right)\left( {m + 4} \right) > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\\dfrac{{m + 4}}{{m - 1}} > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\\\dfrac{{m + 1}}{{m - 1}} > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.$

Giải $\left( 1 \right)$: $m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1$

Giải $\left( 2 \right)$:

$\begin{array}{l}4{\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( {m - 1} \right)\left( {m + 4} \right) > 0\\ \Leftrightarrow \left( {4{m^2} + 8m + 4} \right) - \left( {4m - 4} \right)\left( {m + 4} \right) > 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 8m + 4 - 4{m^2} - 16m + 4m + 16 > 0\\ \Leftrightarrow  - 4m + 20 > 0\\ \Leftrightarrow m < 5\end{array}$

Giải $\left( 3 \right)$:

$\dfrac{{m + 4}}{{m - 1}} > 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m + 4 > 0\\m - 1 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m + 4 < 0\\m - 1 < 0\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m >  - 4\\m > 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m <  - 4\\m < 1\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m <  - 4\end{array} \right.$

Giải $\left( 4 \right)$:

$\dfrac{{m + 1}}{{m - 1}} > 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m + 1 > 0\\m - 1 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m + 1 < 0\\m - 1 < 0\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m >  - 1\\m > 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m <  - 1\\m < 1\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m <  - 1\end{array} \right.$

Kết hợp cả $4$ điều kiện ta được $m <  - 4$ hoặc $1 < m < 5$.