Cho phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$$\left( {a \ne 0} \right)$. Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi :
Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right.\) .
Hai số $1 - \sqrt 2 $ và $1 + \sqrt 2 $ là các nghiệm của phương trình:
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = 2\\P = {x_1}.{x_2} = - 1\end{array} \right.$$ \Rightarrow pt:{x^2} - Sx + P = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 1 = 0$.
Phương trình \(\left( {{m^2} - m} \right)x + m - 3 = 0\) là phương trình bậc nhất khi và chỉ khi
Phương trình \(\left( {{m^2} - m} \right)x + m - 3 = 0\) là phương trình bậc nhất khi và chỉ khi:
\(a = {m^2} - m \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ne 0\end{array} \right.\).
Câu nào sau đây sai ?
Xét đáp án A : Khi \(m = 2\) phương trình có dạng \(0.x + 0 = 0\) có vô số nghiệm nên A sai.
Xét đáp án B: Khi $m \ne 1$ thì \(m - 1 \ne 0\) nên phương trình $:\left( {m - 1} \right)x + 3m + 2 = 0$ có nghiệm duy nhất.
Xét đáp án C: Khi \(m = 2\) thì phương trình là:
\(\dfrac{{x - 2}}{{x - 2}} + \dfrac{{x - 3}}{x} = 3 \Leftrightarrow \dfrac{{x - 3}}{x} = 2 \Rightarrow x - 3 = 2x \Leftrightarrow x = - 3\left( {TM} \right)\) nên C đúng.
Xét đáp án D: Khi $m \ne 2$ và $m \ne 0$ thì \({m^2} - 2m \ne 0\) nên phương trình $\left( {{m^2} - 2m} \right)x + m + 3 = 0\;$ có nghiệm.
Khẳng định đúng nhất trong các khẳng định sau là :
Đáp án A: Phương trình: \(3x + 5 = 0\) có nghiệm là \(x = - \dfrac{5}{3}\) nên A đúng.
Phương trình: \(0x - 7 = 0\) vô nghiệm nên B đúng.
Phương trình : \(0x + 0 = 0\) có vô số nghiệm hay có tập nghiệm \(\mathbb{R}\) nên C đúng.
Phương trình: $\left( {a-3} \right)x + b = 2$ vô nghiệm với giá trị $a,{\rm{ }}b$ là:
Ta có: $\left( {a-3} \right)x + b = 2$ $ \Leftrightarrow \left( {a-3} \right)x + \left( {b - 2} \right) = 0$
Phương trình vô nghiệm khi $\left\{\begin{array}{l}a - 3=0\\b -2\ne 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b \ne 2\end{array} \right.$
Phương trình $\left( {{m^2}-2m} \right)x = {m^2}-3m + 2$ có nghiệm khi:
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
$\left[ \begin{array}{l}{m^2}-2m \ne 0\\{m^2}-2m = {m^2}-3m + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ne 2\end{array} \right.\\m = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ne 0$
Phương trình $\left( {{m^2}-3m + 2} \right)x + {m^2} + 4m + 5 = 0$ có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\) khi:
Phương trình có vô số nghiệm khi $\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 3m + 2 = 0\\{m^2} + 4m + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset $
(do phương trình \({m^2} + 4m + 5 = 0\) vô nghiệm với mọi \(m\)
Phương trình $\left( {m-1} \right){x^2}{\rm{ + }}3x-1 = 0$. Phương trình có nghiệm khi:
Với \(m = 1\) ta được phương trình \(3x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{3}\).
Với \(m \ne 1\).
\(\Delta ={3^2} + 4\left( {m - 1} \right)\)
Phương trình $\left( {m-1} \right){x^2}{\rm{ + }}3x-1 = 0$ có nghiệm khi \(\Delta \ge 0\)\(\Leftrightarrow {3^2} + 4\left( {m - 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - \dfrac{5}{4}\).
Cho phương trình $\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 4mx - 4} \right) = 0$ .Phương trình có ba nghiệm phân biệt khi:
Ta có:$\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 4mx - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} - 4mx - 4 = 0\end{array} \right.$
Phương trình có $3$ nghiệm phân biệt khi ${x^2} - 4mx - 4 = 0$ có $2$ nghiệm phân biệt khác $1$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta' > 0\\f\left( 1 \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{m^2} + 4 > 0\\ - 4m - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ne - \dfrac{3}{4}$.
Để hai đồ thị $y = - {x^2} - 2x + 3$ và $y = {x^2} - m$ có hai điểm chung thì:
- Xét phương trình $ - {x^2} - 2x + 3 = {x^2} - m \Leftrightarrow 2{x^2} + 2x - m - 3 = 0\left( 1 \right)$.
- Hai đồ thị có hai điểm chung khi và chỉ khi phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt
$ \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow 1 + 2m + 6 > 0$$ \Leftrightarrow m > - \dfrac{7}{2}$.
Giả sử các phương trình sau đây đều có nghiệm. Nếu biết các nghiệm của phương trình: ${x^2}\; + {\rm{ }}px + {\rm{ }}q = 0$ là lập phương các nghiệm của phương trình ${x^2} + mx + n = 0$. Thế thì:
Gọi \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của ${x^2}\; + {\rm{ }}px + {\rm{ }}q = 0$
Gọi \({x_3},{x_4}\) là nghiệm của ${x^2}\; + {\rm{ }}mx + {\rm{ }}n = 0$
- Khi đó, theo vi-et: \({x_1} + {x_2} = - p\), \({x_3} + {x_4} = - m\), \({x_3}.{x_4} = n\).
- Theo yêu cầu ta có:
$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {x_3}^3\\{x_2} = {x_4}^3\end{array} \right.$$ \Rightarrow {x_1} + {x_2} = {x_3}^3 + {x_4}^3$$ \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = {\left( {{x_3} + {x_4}} \right)^3} - 3{x_3}{x_4}\left( {{x_3} + {x_4}} \right)$
$ \Rightarrow - p = - {m^3} + 3mn$$ \Rightarrow p = {m^3} - 3mn$.
Cho phương trình :${x^2}-2a\left( {x-1} \right)-1 = 0.$ Khi tổng các nghiệm và tổng bình phương các nghiệm của phương trình bằng nhau thì giá trị của tham số $a$ bằng :
Ta có: ${x^2} - 2a\left( {x-1} \right)-1 = 0$\( \Leftrightarrow {x^2} - 2ax + 2a - 1 = 0\) $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2a - 1\end{array} \right.$(do \(1 + \left( { - 2a} \right) + 2a - 1 = 0\))
Yêu cầu bài toán ${x_1} + {x_2} = {x_1}^2 + {x_2}^2$$ \Rightarrow {x_1} + {x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}$
$ \Rightarrow 2a = 4{a^2} - 4a{\rm{ + 2}}$$ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$
Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 2 = 0\) với \(m\) là tham số. Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1};\,\,{x_2}\) sao cho \(B = \sqrt {2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 16} - 3{x_1}{x_2}\) đạt giá trị lớn nhất
Phương trình có hai nghiệm $\Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {{m^2} + 2} \right) = 2m + 1 \ge 0 $ $\Leftrightarrow m \ge \dfrac{1}{2}$
\(B = \sqrt {2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 16} - 3{x_1}{x_2} = \sqrt {2{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2} + 16} - 3{x_1}{x_2}\)
\( = \sqrt {2{{\left( {2m + 2} \right)}^2} - 4\left( {{m^2} + 2} \right) + 16} - 3\left( {{m^2} + 2} \right) = \sqrt {4{m^2} + 16m + 16} - 3\left( {{m^2} + 2} \right)\)
\( = 2m + 4 - 3\left( {{m^2} + 2} \right) = - 3{m^2} + 2m - 2\)
Xét hàm số \(y = - 3{m^2} + 2m - 2\) với \(m \ge \dfrac{1}{2}\)
Bảng biến thiên
Suy ra giá trị \(\mathop {\max y}\limits_{m \ge \dfrac{1}{2}} = - \dfrac{7}{4}\) khi \(m = \dfrac{1}{2}\)
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(B\) là \( - \dfrac{7}{4}\) khi \(m = \dfrac{1}{2}\).
Cho hai phương trình: ${x^2}-2mx + 1 = 0\;$ và ${x^2}-2x + m = 0$. Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị của \(m\) để mỗi nghiệm của phương trình này là nghịch đảo của một nghiệm của phương trình kia. Tổng các phần tử của \(S\) gần nhất với số nào dưới đây?
Gọi \({x_1};{x_2}\) là nghiệm của phương trình ${x^2}-2mx + 1 = 0\;$khi đó $\left\{ \begin{array}{l}\;{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}.{x_2} = 1\end{array} \right.$
Gọi \({x_3};{x_4}\) là nghiệm của phương trình ${x^2}-2x + m = 0$ khi đó $\;\left\{ \begin{array}{l}{x_3} + {x_4} = 2\\{x_3}.{x_4} = m\end{array} \right.$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{1}{{{x_3}}}\\{x_2} = \dfrac{1}{{{x_4}}}\end{array} \right.$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{1}{{{x_3}}} + \dfrac{1}{{{x_4}}}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{1}{{{x_3}.{x_4}}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{{x_3} + {x_4}}}{{{x_3}{x_4}}}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{1}{{{x_3}.{x_4}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m = \dfrac{2}{m}\\1 = \dfrac{1}{m}\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1$
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 4x + 5}}{{{x^2} + 3x + 3}}\) lần lượt là \(M\) và \(m\) thì:
Đặt \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 4x + 5}}{{{x^2} + 3x + 3}} = A\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 5 = A\left( {{x^2} + 3x + 3} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 5 - A\left( {{x^2} + 3x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 5 - A{x^2} - 3Ax - 3A = 0\\ \Leftrightarrow \left( {1 - A} \right){x^2} + \left( {4 - 3A} \right)x + 5 - 3A = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta \ge 0\)
\(\begin{array}{l}\Delta \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {4 - 3A} \right)^2} - 4.\left( {1 - A} \right)\left( {5 - 3A} \right) \ge 0\\\, \Leftrightarrow \left( {16 - 24A + 9{A^2}} \right) - \left( {4 - 4A} \right)\left( {5 - 3A} \right) \ge 0\\\, \Leftrightarrow \left( {16 - 24A + 9{A^2}} \right) - \left( {20 - 12A - 20A + 12{A^2}} \right) \ge 0\\\, \Leftrightarrow 16 - 24A + 9{A^2} - 20 + 12A + 20A - 12{A^2} \ge 0\\\, \Leftrightarrow - 3{A^2} + 8A - 4 \ge 0\\\, \Leftrightarrow 3{A^2} - 8A + 4 \le 0\\\, \Leftrightarrow \left( {A - 2} \right)\left( {3A - 2} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{2}{3} \le A \le 2\end{array}\)
+) \(A \ge \dfrac{2}{3} \Rightarrow Min\,A = \dfrac{2}{3}\)
\(A = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + 4x + 5}}{{{x^2} + 3x + 3}} = \dfrac{2}{3}\)\( \Leftrightarrow 3{x^2} + 12x + 15 = 2{x^2} + 6x + 6\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 6x + 9 = 0\)\( \Leftrightarrow x = - 3\)
+) \(A \le 2 \Rightarrow Max\,A = 2\)
\(A = 2 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + 4x + 5}}{{{x^2} + 3x + 3}} = 2\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 5 = 2{x^2} + 6x + 6\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow x = - 1\)
Vậy \(Min\,f\left( x \right) = Min\,A = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow x = - 1\); \(Max\,f\left( x \right) = Max\,A = 2 \Leftrightarrow x = - 1\)
Khi đó, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}M = 2\\m = \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\)
\(M + m = \dfrac{8}{3}\) \( \Rightarrow \) Đáp án \(A\) sai.
\(Mm = \dfrac{4}{3}\) \( \Rightarrow \) Đáp án \(B\) sai.
\(\dfrac{M}{m} = 3\) \( \Rightarrow \) Đáp án \(C\) sai.
\(M - m = \dfrac{4}{3}\) \( \Rightarrow \) Đáp án\(D\) đúng.
Tìm tất cả các gía trị thực của tham số \(m\) sao cho phương trình \(\left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m + 4 = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt.
Phương trình \(\left( {m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m + 4 = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi
\(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta > 0\\P> 0\\S > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ne 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\4{\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( {m - 1} \right)\left( {m + 4} \right) > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\\dfrac{{m + 4}}{{m - 1}} > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\\\dfrac{{m + 1}}{{m - 1}} > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array} \right.\)
Giải \(\left( 1 \right)\): \(m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1\)
Giải \(\left( 2 \right)\):
\(\begin{array}{l}4{\left( {m + 1} \right)^2} - 4\left( {m - 1} \right)\left( {m + 4} \right) > 0\\ \Leftrightarrow \left( {4{m^2} + 8m + 4} \right) - \left( {4m - 4} \right)\left( {m + 4} \right) > 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 8m + 4 - 4{m^2} - 16m + 4m + 16 > 0\\ \Leftrightarrow - 4m + 20 > 0\\ \Leftrightarrow m < 5\end{array}\)
Giải \(\left( 3 \right)\):
\(\dfrac{{m + 4}}{{m - 1}} > 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m + 4 > 0\\m - 1 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m + 4 < 0\\m - 1 < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m > - 4\\m > 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m < - 4\\m < 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 4\end{array} \right.\)
Giải \(\left( 4 \right)\):
\(\dfrac{{m + 1}}{{m - 1}} > 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m + 1 > 0\\m - 1 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m + 1 < 0\\m - 1 < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m > - 1\\m > 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m < - 1\\m < 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < - 1\end{array} \right.\)
Kết hợp cả \(4\) điều kiện ta được \(m < - 4\) hoặc \(1 < m < 5\).
