Với giá trị nào của \(a\) thì phương trình \(3\left| x \right| + 2ax =  - 1\) có nghiệm duy nhất?

Dễ thấy, \(x = 0\) không là nghiệm của phương trình đã cho.

Ÿ Xét \(x \in \left( { - \infty ;0} \right)\):

Phương trình trở thành \( - 3x + 2ax =  - 1 \Leftrightarrow \left( {2a - 3} \right)x =  - 1\left( 1 \right)\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm duy nhất khi \(2a - 3 \ne 0 \Leftrightarrow a \ne \dfrac{3}{2}\).

Khi đó, nghiệm của phương trình là \(x = \dfrac{{ - 1}}{{2a - 3}}\). Mà \(x < 0 \Rightarrow \dfrac{{ - 1}}{{2a - 3}} < 0 \Leftrightarrow 2a - 3 > 0 \Leftrightarrow a > \dfrac{3}{2}\).

Ÿ Xét \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\):

Phương trình trở thành \(3x + 2ax =  - 1 \Leftrightarrow \left( {2a + 3} \right)x =  - 1\;\;\;\;\left( 2 \right)\)

Phương trình \(\left( 2 \right)\) có nghiệm duy nhất khi \(2a + 3 \ne 0 \Leftrightarrow a \ne  - \dfrac{3}{2}\).

Khi đó, nghiệm của phương trình là \(x = \dfrac{{ - 1}}{{2a + 3}}\). Mà \(x > 0 \Rightarrow \dfrac{{ - 1}}{{2a + 3}} > 0\)\( \Leftrightarrow 2a + 3 < 0 \Leftrightarrow a <  - \dfrac{3}{2}\)