Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne  - 1\end{array} \right.$

Phương trình $\left( 1 \right)$ thành

$\dfrac{{x - m}}{{x + 1}} = \dfrac{{x - 2}}{{x - 1}}\;\;\left( 1 \right)$$\Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left( {x - 1} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)$$\Leftrightarrow {x^2} - x - mx + m = {x^2} - x - 2$$\Leftrightarrow mx = m + 2\,\,\,\left( 2 \right)$

Phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm duy nhất

$\Leftrightarrow$ Phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm duy nhất khác $- 1$ và $1$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\dfrac{{m + 2}}{m} \ne 1\\\dfrac{{m + 2}}{m} \ne  - 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m + 2 \ne m\\m + 2 \ne  - m\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\2 \ne 0\;\;\left( {ld} \right)\\m \ne  - 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ne  - 1\end{array} \right.$.

Điều kiện: $x \ne 1$

Phương trình $\left( 1 \right)$ thành:

$x - 2 + \dfrac{{x + a}}{{x - 1}} = a$ $\Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 + x + a = ax - a$$\Leftrightarrow {x^2} - \left( {2 + a} \right)x + 2a + 2 = 0\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm duy nhất.

$\Leftrightarrow$ Phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm duy nhất khác $1$ hoặc phương trình $\left( 2 \right)$ có $2$ nghiệm phân biệt có một nghiệm bằng $1$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta  = 0\\x =  - \dfrac{b}{{2a}} \ne 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\f\left( 1 \right) = 0\end{array} \right.\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 4a - 4 = 0\\\dfrac{{a + 2}}{2} \ne 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 4a - 4 > 0\\1 - 2 - a + 2a + 2 = 0\end{array} \right.\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 4a - 4 = 0\\a + 2 \ne 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 4a - 4 > 0\\a + 1 = 0\end{array} \right.\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2 + 2\sqrt 2 \\a = 2 - 2\sqrt 2 \\a =  - 1\end{array} \right.$

Với $a = 2 + 2\sqrt 2$ phương trình có nghiệm là $x = 2 + \sqrt 2$

Với $a = 2 - 2\sqrt 2$ phương trình có nghiệm là $x = 2 - \sqrt 2$

Với $a =  - 1$ phương trình có nghiệm là $\left[ \begin{array}{l}x = 0\;\;\left( n \right)\\x = 1\;\;\left( l \right)\end{array} \right.$

Ta có: $\left| {ax + b} \right| = \left| {cx + d} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}ax + b = cx + d\\ax + b =  - cx - d\end{array} \right.$

Ta có

$\left| {x - 2} \right| = \left| {3x - 5} \right|$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 3x - 5\\x - 2 = 5 - 3x\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 3\\4x = 7\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{2}\\x = \dfrac{7}{4}\end{array} \right.$.

Ta có

$\left| {2x - 4} \right| + \left| {x - 1} \right| = 0$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 4 = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\x = 1\end{array} \right.\;\;\left( {vl} \right)$

Suy ra $S = \emptyset$.

Ta có: $\left| {2x - 4} \right| - 2x + 4 = 0$$\Leftrightarrow \left| {2x - 4} \right| = 2x - 4$$\Leftrightarrow 2x - 4 \ge 0$$\Leftrightarrow x \ge 2$.

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}2x - 3 \ne 0\\\left| {x + 1} \right| \ne 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \dfrac{3}{2}\\x \ne  - 1\end{array} \right.$

Phương trình (1) thành: $\left| {x + 1} \right|\left( {x - 1} \right) = \left( { - 3x + 1} \right)\left( {2x - 3} \right)$

TH1: $x \ge  - 1$

Phương trình thành ${x^2} - 1 =  - 6{x^2} + 11x - 3$$\Leftrightarrow 7{x^2} - 11x + 2 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{11 + \sqrt {65} }}{{14}}\;\;\left( n \right)\\x = \dfrac{{11 - \sqrt {65} }}{{14}}\;\;\left( n \right)\end{array} \right.$

TH2: $x <  - 1$

Phương trình thành $- {x^2} + 1 =  - 6{x^2} + 11x - 3$$\Leftrightarrow 5{x^2} - 11x + 4 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{11 + \sqrt {41} }}{{10}}\;\;\left( l \right)\\x = \dfrac{{11 - \sqrt {41} }}{{10}}\;\;\left( l \right)\end{array} \right.$

Vậy $S = \left\{ {\dfrac{{11 + \sqrt {65} }}{{14}};\dfrac{{11 - \sqrt {65} }}{{14}}} \right\}$.

Điều kiện: $x > 2$

Ta có$\dfrac{{{x^2} - 4x - 2}}{{\sqrt {x - 2} }} = \sqrt {x - 2}$$\Leftrightarrow {x^2} - 4x - 2 = x - 2$$\Leftrightarrow {x^2} - 5x = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\;\;\left( l \right)\\x = 5\;\;\left( n \right)\end{array} \right.$

Vậy $S = \left\{ 5 \right\}$.

Điều kiện $x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2$.

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} - \left( {2m + 3} \right)x + 6m = 0$$\left( 2 \right)$, phương trình luôn có nghiệm là $x = 3$ và $x = 2m$

Phương trình  $\left( 1 \right)$ có duy nhất $1$  nghiệm $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2m \le 2\\2m = 3\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le 1\\m = \dfrac{3}{2}\end{array} \right.$.

Điều kiện: $x \ge a$

Phương trình thành $\left[ \begin{array}{l}{x^2} - 5x + 4 = 0\\x - a = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = 1\\x = a\end{array} \right.$

+) Nếu $a<1$ thì phương trình có ba nghiệm phân biệt $x=a, x=1, x=4$ nên không thỏa mãn yêu cầu.

+) Nếu $1\le a <4$ thì do điều kiện $x\ge a$ nên ta loại nghiệm $x=1$, do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt $x=a,x=4$ (thỏa mãn)

+) Nếu $a=4$ thì phương trình có nghiệm duy nhất $x=a=4$ (không thỏa mãn).

+) Nếu $a> 4$ thì do điều kiện $x\ge a$ nên ta loại hai nghiệm $x=1,x=4$, do đó phương trình có nghiệm duy nhất $x=a$ (không thỏa mãn)

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow 1 \le a < 4$.

Trường hợp 1: $x <  - 2$

Phương trình thành $3 - x - 2x - 4 = 3$$\Leftrightarrow 3x =  - 4$$\Leftrightarrow x = \dfrac{{ - 4}}{3}\;\;\left( l \right)$

Trường hợp 2: $- 2 \le x \le 3$

Phương trình thành $3 - x + 2x + 4 = 3$$\Leftrightarrow x =  - 4\;\;\left( l \right)$

Trường hợp 3: $x > 3$

Phương trình thành $x - 3 + 2x + 4 = 3$$\Leftrightarrow 3x = 2$$\Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}\;\;\left( l \right)$

Vậy $S = \emptyset$.

Phương trình tương đương với $4{x^2} - 4x - \left| {2x - 1} \right| - 1 = 0$.

Đặt $t = \left| {2x - 1} \right|,\,\,t \ge 0$. Suy ra  ${t^2} = 4{x^2} - 4x + 1 \Rightarrow 4{x^2} - 4x = {t^2} - 1$.

Phương trình trở thành ${t^2} - 1 - t - 1 = 0$$\Leftrightarrow {t^2} - t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 1\left( {KTM} \right)\\t = 2\left( {TM} \right)\end{array} \right.$

Với $t = 2$, ta có $\left| {2x - 1} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - 1 = 2}\\{2x - 1 =  - 2}\end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{3}{2}}\\{x =  - \dfrac{1}{2}}\end{array}} \right. \Rightarrow \dfrac{3}{2} + \left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = 1$

Điều kiện: $x > 4$

Phương trình trở thành:

$\left| {x - 3} \right| = x - 3$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x - 3 = x - 3\\x - 3 = 3 - x\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}0x = 0\\x = 3\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Leftrightarrow x \ge 3$

Vậy $T = \left( {4; + \infty } \right)$

$\left| x \right| + 1 = {x^2} + m$$\Leftrightarrow m =$$f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} - {x^2} + x + 1\;\;khi\;\;x \ge 0\\ - {x^2} - x + 1\;\;khi\;\;x < 0\end{array} \right.$.

Biểu diễn đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ lên hệ trục tọa độ như hình vẽ bên trên:

+ Vẽ đồ thị hàm số $y =  - {x^2} + x + 1$

+ Giữ nguyên nhánh đồ thị bên phải trục tung và lấy đối xứng nó qua trục tung.

+ Xóa bỏ phần bên trái trục tung trước đó đi.

Dựa vào đồ thị ta suy ra không tồn tại $m$ để phương trình $m = f\left( x \right)$ có duy nhất $1$ nghiệm.

Trường hợp 1: $x \le  - 2$

Phương trình thành: $- x - 2 - 3x + 5 + 2x - 7 = 0$$\Leftrightarrow  - 2x = 4$$\Leftrightarrow x =  - 2\;\;\left( n \right)$.

Trường hợp 2: $- 2 < x < \dfrac{5}{3}$

Phương trình thành: $x + 2 - 3x + 5 + 2x - 7 = 0$$\Leftrightarrow 0x = 0\;\;\left( {ld} \right)$

Suy ra $- 2 < x < \dfrac{5}{3}$.

Trường hợp 3: $\dfrac{5}{3} \le x \le \dfrac{7}{2}$

Phương trình thành: $x + 2 + 3x - 5 + 2x - 7 = 0$$\Leftrightarrow 6x = 10$$\Leftrightarrow x = \dfrac{5}{3}\;\;\left( n \right)$.

Trường hợp 4: $x > \dfrac{7}{2}$

Phương trình thành: $x + 2 + 3x - 5 - 2x + 7 = 0$$\Leftrightarrow 2x =  - 4$$\Leftrightarrow x = -2 \left( l \right)$

Vậy $S = \left[ { - 2;\dfrac{5}{3}} \right]$

Ta có: $\dfrac{{{x^2}}}{2} - 2x + \dfrac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.;$ $\dfrac{{{x^2}}}{2} - 3x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 4\end{array} \right.$

Từ đó ta phá dấu giá trị tuyệt đối của mỗi biểu thức như sau:

TH1: $x \le 1$

Phương trình thành: $\dfrac{{{x^2}}}{2} - 2x + \dfrac{3}{2} + \dfrac{{{x^2}}}{2} - 3x + 4 = \dfrac{3}{4}$$\Leftrightarrow {x^2} - 5x + \dfrac{{19}}{4} = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{5 + \sqrt 6 }}{2}\;\;\left( l \right)\\x = \dfrac{{5 - \sqrt 6 }}{2}\;\;\left( l \right)\end{array} \right.$

TH 2: $1 < x < 2$

Phương trình thành: $- \dfrac{{{x^2}}}{2} + 2x - \dfrac{3}{2} + \dfrac{{{x^2}}}{2} - 3x + 4 = \dfrac{3}{4}$$\Leftrightarrow x = \dfrac{7}{4}\;\;\left( n \right)$.

TH 3: $2 \le x \le 3$

Phương trình thành: $- \dfrac{{{x^2}}}{2} + 2x - \dfrac{3}{2} - \dfrac{{{x^2}}}{2} + 3x - 4 = \dfrac{3}{4}$$\Leftrightarrow  - {x^2} + 5x - \dfrac{{25}}{4} = 0$$\Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2}\;\;\left( n \right)$

TH 4: $3 < x < 4$

Phương trình thành: $\dfrac{{{x^2}}}{2} - 2x + \dfrac{3}{2} - \dfrac{{{x^2}}}{2} + 3x - 4 = \dfrac{3}{4}$$\Leftrightarrow x = \dfrac{{13}}{4}\;\;\left( n \right)$

TH 4: $x \ge 4$

Phương trình thành: $\dfrac{{{x^2}}}{2} - 2x + \dfrac{3}{2} + \dfrac{{{x^2}}}{2} - 3x + 4 = \dfrac{3}{4}$$\Leftrightarrow {x^2} - 5x + \dfrac{{19}}{4} = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{5 + \sqrt 6 }}{2}\;\;\left( l \right)\\x = \dfrac{{5 - \sqrt 6 }}{2}\;\;\left( l \right)\end{array} \right.$

  $\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left| {5x - 1} \right| = 2\\ \Leftrightarrow 25{x^2} - 10x + 1 = 4\\ \Leftrightarrow 25{x^2} - 10x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {5x - 3} \right)\left( {5x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x - 3 = 0\\5x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{5}\\x =  - \dfrac{1}{5}\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $S = \left\{ {\dfrac{3}{5};\dfrac{{ - 1}}{5}} \right\}$