Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Ta có: $\left| {3 - x} \right| = \left| {2x - 5} \right|$

Điều kiện: $x \ne  - 1$

Phương trình $\dfrac{b}{{x + 1}} = a\,\,\,\left( 1 \right)$ $\Leftrightarrow a\left( {x + 1} \right) = b$ $\Leftrightarrow ax = b - a\,\,\,\left( 2 \right)$

Phương trình $\left( 1 \right)$ vô nghiệm $\Leftrightarrow$ Phương trình $\left( 2 \right)$ vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất $x =  - 1$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0,b - a \ne 0\\\dfrac{{b - a}}{a} =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0,b \ne 0\\b = 0,a \ne 0\end{array} \right.$.

Vậy $\left[ \begin{array}{l}a = 0,b \ne 0\\b = 0,a \ne 0\end{array} \right.$

Điều kiện: $x \ne 1$

Phương trình $- 2x + \dfrac{1}{{x + 1}} = 1$ $\Leftrightarrow  - 2x\left( {x + 1} \right) + 1 = x + 1$$\Leftrightarrow  - 2{x^2} - 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\left( {TM} \right)$.

Vậy $S = \left\{ {0; - \dfrac{3}{2}} \right\}$.

$\dfrac{{\left( {{m^2} + 1} \right)x - 1}}{{x + 1}} = 1$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\not  =  - 1\\\left( {{m^2} + 1} \right)x - 1 = x + 1\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow x = \dfrac{2}{{{m^2}}}$

Dễ thấy $x = \dfrac{2}{{{m^2}}} > 0,\forall m \ne 0$ nên $x \ne  - 1$

$\dfrac{{x - m}}{{x + 1}} = \dfrac{{x - 2}}{{x - 1}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\not  =  \pm 1\\mx = m + 2\end{array} \right.$

Phương trình đã cho có nghiệm $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m\not  = 0\\x = 1 + \dfrac{2}{m}\not  =  \pm 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m\not  = 0\\m\not  =  - 1\end{array} \right.$

Vì $m \in \mathbb{Z},\,\,m \in \left[ { - 3;5} \right]$ nên $m \in S = \left\{ { - 3; - 2;1;2;3;4;5} \right\}.$

Ta có: $\dfrac{{{x^2} + mx + 2}}{{{x^2} - 1}} = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\not  =  \pm 1\\mx =  - 3\end{array} \right.$

Phương trình đã cho vô nghiệm $\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\\left\{ \begin{array}{l}m\not  = 0\\ - \dfrac{3}{m} =  \pm 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m =  \pm 3\end{array} \right.$

Ta có: $\left| {ax + b} \right| = cx + d \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}cx + d \ge 0\\ax + b =  \pm \left( {cx + d} \right)\end{array} \right.$

Phương trình $\Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} = 4{\left( {x - 2} \right)^2} \Leftrightarrow 3{x^2} - 20x + 12 = 0$.

Do đó, tổng các nghiệm của phương trình bằng $- \dfrac{b}{a} = \dfrac{{20}}{3}$.

Phương trình $\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 1 = {x^2} - 3x - 4}\\{2x + 1 =  - \left( {{x^2} - 3x - 4} \right)}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 5x - 5 = 0}\\{{x^2} - x - 3 = 0}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{5 \pm \sqrt {45} }}{2}}\\{x = \dfrac{{1 \pm \sqrt {13} }}{2}}\end{array}} \right.$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\left| {2x - 5} \right| \ge 0\\\left| {2{x^2} - 7x + 5} \right| \ge 0\end{array} \right.$$\Rightarrow \left| {2x - 5} \right| + \left| {2{x^2} - 7x + 5} \right| \ge 0$

Dấu $'' = ''$ xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}2x - 5 = 0\\2{x^2} - 7x + 5 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{5}{2}\\x = 1 \vee x = \dfrac{5}{2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2}$

Phương trình $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\{\left( {2x - 1} \right)^2} = {\left( {x - 3} \right)^2}\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\3{x^2} + 2x - 8 = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{4}{3}\\x =  - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \emptyset$

$\Rightarrow S = \emptyset$.

Phương trình $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 4 \ge 0\\{\left( {{x^2} + 5x + 4} \right)^2} = {\left( {x + 4} \right)^2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 4\\{\left( {{x^2} + 5x + 4} \right)^2} - {\left( {x + 4} \right)^2} = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 4\\\left( {{x^2} + 6x + 8} \right)\left( {{x^2} + 4x} \right) = 0\end{array} \right.\,$$\Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 4\\\left[ \begin{array}{l}{x^2} + 6x + 8 = 0\\{x^2} + 4x = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\,$$\Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 4\\\left[ \begin{array}{l}x =  - 2,x =  - 4\\x = 0,x =  - 4\end{array} \right.\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \,\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 2\\x =  - 4\end{array} \right.$

$\Rightarrow 0 + \left( { - 2} \right) + \left( { - 4} \right) =  - 6.$

Phương trình $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - 17 \ge 0\\{\left| {{x^2} - 4x - 5} \right|^2} = {\left( {4x - 17} \right)^2}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{{17}}{4}\\{\left( {{x^2} - 4x - 5} \right)^2} = {\left( {4x - 17} \right)^2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{{17}}{4}\\\left( {{x^2} - 8x + 12} \right)\left( {{x^2} - 22} \right) = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{{17}}{4}\\\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 8x + 12 = 0}\\{{x^2} - 22 = 0}\end{array}} \right.\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{{17}}{4}\\\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 \vee x = 6}\\{x =  \pm \sqrt {22} }\end{array}} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6\\x = \sqrt {22} \end{array} \right.$$\Rightarrow P = {\left( {\sqrt {22} } \right)^2} + 6 = 28$

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne 2\end{array} \right.$

Phương trình thành ${x^2} - 1 + \left| {x + 1} \right| = 2\left| x \right|\left( {x - 2} \right)$

TH 1: $x <  - 1$

Phương trình thành ${x^2} - 1 - x - 1 = 2\left( { - x} \right)\left( {x - 2} \right)$$\Leftrightarrow 3{x^2} - 5x - 2 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\;\;\;\;\left( l \right)\\x = \dfrac{{ - 1}}{3}\;\;\left( l \right)\end{array} \right.$.

TH 2: $- 1 \le x \le 0$

Phương trình thành ${x^2} - 1 + x + 1 =  - 2x\left( {x - 2} \right)$$\Leftrightarrow 3{x^2} - 3x = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\;\;\left( l \right)\\x = 1\;\;\left( l \right)\end{array} \right.$.

TH3: $x > 0$

Phương trình thành  ${x^2} - 1 + x + 1 = 2x\left( {x - 2} \right)$$\Leftrightarrow {x^2} - 5x = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\;\;\left( l \right)\\x = 5\;\;\left( n \right)\end{array} \right.$.

Đặt $t = \left| {x + 1} \right|$, $\,t \ge 0$.

Phương trình trở thành ${t^2} - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1$ hoặc $t = 2$.

• Với $t = 1$ ta có $\left| {x + 1} \right| = 1 \Leftrightarrow x + 1 = \pm 1 \Leftrightarrow x = - 2$ hoặc $x = 0$.
• Với $t = 2$ ta có $\left| {x + 1} \right| = 2 \Leftrightarrow x + 1 = \pm 2 \Leftrightarrow x = - 3$ hoặc $x = 1$.

Vậy phương trình có bốn nghiệm là $x =  - 3,\,{\rm{ }}x =  - 2,\,{\rm{ }}x = 0,{\rm{ }}x = 1.$

Dễ thấy, $x = 0$ không là nghiệm của phương trình đã cho.

Ÿ Xét $x \in \left( { - \infty ;0} \right)$:

Phương trình trở thành $- 3x + 2ax =  - 1 \Leftrightarrow \left( {2a - 3} \right)x =  - 1\left( 1 \right)$

Phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm duy nhất khi $2a - 3 \ne 0 \Leftrightarrow a \ne \dfrac{3}{2}$.

Khi đó, nghiệm của phương trình là $x = \dfrac{{ - 1}}{{2a - 3}}$. Mà $x < 0 \Rightarrow \dfrac{{ - 1}}{{2a - 3}} < 0 \Leftrightarrow 2a - 3 > 0 \Leftrightarrow a > \dfrac{3}{2}$.

Ÿ Xét $x \in \left( {0; + \infty } \right)$:

Phương trình trở thành $3x + 2ax =  - 1 \Leftrightarrow \left( {2a + 3} \right)x =  - 1\;\;\;\;\left( 2 \right)$

Phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm duy nhất khi $2a + 3 \ne 0 \Leftrightarrow a \ne  - \dfrac{3}{2}$.

Khi đó, nghiệm của phương trình là $x = \dfrac{{ - 1}}{{2a + 3}}$. Mà $x > 0 \Rightarrow \dfrac{{ - 1}}{{2a + 3}} > 0$$\Leftrightarrow 2a + 3 < 0 \Leftrightarrow a <  - \dfrac{3}{2}$

$\left| {x - 3} \right| = 3 - x \Leftrightarrow x - 3 \le 0 \Leftrightarrow x \le 3$

Điều kiện: $x \ne  - 1$

Phương trình $\dfrac{b}{{x + 1}} = a\,\,\,\left( 1 \right)$$\Leftrightarrow a\left( {x + 1} \right) = b$$\Leftrightarrow ax = b - a\,\,\,\left( 2 \right)$

        Phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm duy nhất

$\Leftrightarrow$ Phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm duy nhất khác $- 1$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\dfrac{{b - a}}{a} \ne 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\b - a \ne a\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\b \ne 0\end{array} \right.$.

Điều kiện: $x \ne 1$

Phương trình $2x + \dfrac{3}{{x - 1}} = \dfrac{{3x}}{{x - 1}}$$\Leftrightarrow 2x\left( {x - 1} \right) + 3 = 3x$$\Leftrightarrow 2{x^2} - 5x + 3 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\;\;\;\left( l \right)\\x = \dfrac{3}{2}\;\;\left( n \right)\end{array} \right.$.

Vậy $S = \left\{ {\dfrac{3}{2}} \right\}$.

Điều kiện: $x \ne 0$

Phương trình thành $\left( {{m^2} + 2} \right)x + 3m = 2x$$\Leftrightarrow {m^2}x =  - 3m$

Vì $m \ne 0$ suy ra $x = \dfrac{{ - 3}}{m}$.