Biết phương trình $x - 2 + \dfrac{{x + a}}{{x - 1}} = a$ có nghiệm duy nhất và nghiệm đó là nghiệm nguyên. Vậy nghiệm đó là:

Điều kiện: $x \ne 1$

Phương trình \(\left( 1 \right)\) thành:

$x - 2 + \dfrac{{x + a}}{{x - 1}} = a$ $ \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 + x + a = ax - a$$ \Leftrightarrow {x^2} - \left( {2 + a} \right)x + 2a + 2 = 0\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm duy nhất.

\( \Leftrightarrow \) Phương trình \(\left( 2 \right)\) có nghiệm duy nhất khác \(1\) hoặc phương trình \(\left( 2 \right)\) có $2$ nghiệm phân biệt có một nghiệm bằng \(1\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta  = 0\\x =  - \dfrac{b}{{2a}} \ne 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\f\left( 1 \right) = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 4a - 4 = 0\\\dfrac{{a + 2}}{2} \ne 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 4a - 4 > 0\\1 - 2 - a + 2a + 2 = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 4a - 4 = 0\\a + 2 \ne 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 4a - 4 > 0\\a + 1 = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2 + 2\sqrt 2 \\a = 2 - 2\sqrt 2 \\a =  - 1\end{array} \right.\)

Với \(a = 2 + 2\sqrt 2 \) phương trình có nghiệm là \(x = 2 + \sqrt 2 \)

Với \(a = 2 - 2\sqrt 2 \) phương trình có nghiệm là \(x = 2 - \sqrt 2 \)

Với \(a =  - 1\) phương trình có nghiệm là \(\left[ \begin{array}{l}x = 0\;\;\left( n \right)\\x = 1\;\;\left( l \right)\end{array} \right.\)