Phương trình$\left| {\dfrac{{{x^2}}}{2} - 2x + \dfrac{3}{2}} \right| + \left| {\dfrac{{{x^2}}}{2} - 3x + 4} \right| = \dfrac{3}{4}$có nghiệm là :

Ta có: $\dfrac{{{x^2}}}{2} - 2x + \dfrac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.;$ $\dfrac{{{x^2}}}{2} - 3x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 4\end{array} \right.$

Từ đó ta phá dấu giá trị tuyệt đối của mỗi biểu thức như sau:

TH1: $x \le 1$

Phương trình thành: $\dfrac{{{x^2}}}{2} - 2x + \dfrac{3}{2} + \dfrac{{{x^2}}}{2} - 3x + 4 = \dfrac{3}{4}$$\Leftrightarrow {x^2} - 5x + \dfrac{{19}}{4} = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{5 + \sqrt 6 }}{2}\;\;\left( l \right)\\x = \dfrac{{5 - \sqrt 6 }}{2}\;\;\left( l \right)\end{array} \right.$

TH 2: $1 < x < 2$

Phương trình thành: $- \dfrac{{{x^2}}}{2} + 2x - \dfrac{3}{2} + \dfrac{{{x^2}}}{2} - 3x + 4 = \dfrac{3}{4}$$\Leftrightarrow x = \dfrac{7}{4}\;\;\left( n \right)$.

TH 3: $2 \le x \le 3$

Phương trình thành: $- \dfrac{{{x^2}}}{2} + 2x - \dfrac{3}{2} - \dfrac{{{x^2}}}{2} + 3x - 4 = \dfrac{3}{4}$$\Leftrightarrow  - {x^2} + 5x - \dfrac{{25}}{4} = 0$$\Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2}\;\;\left( n \right)$

TH 4: $3 < x < 4$

Phương trình thành: $\dfrac{{{x^2}}}{2} - 2x + \dfrac{3}{2} - \dfrac{{{x^2}}}{2} + 3x - 4 = \dfrac{3}{4}$$\Leftrightarrow x = \dfrac{{13}}{4}\;\;\left( n \right)$

TH 4: $x \ge 4$

Phương trình thành: $\dfrac{{{x^2}}}{2} - 2x + \dfrac{3}{2} + \dfrac{{{x^2}}}{2} - 3x + 4 = \dfrac{3}{4}$$\Leftrightarrow {x^2} - 5x + \dfrac{{19}}{4} = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{5 + \sqrt 6 }}{2}\;\;\left( l \right)\\x = \dfrac{{5 - \sqrt 6 }}{2}\;\;\left( l \right)\end{array} \right.$