Phương trình\(\left| {\dfrac{{{x^2}}}{2} - 2x + \dfrac{3}{2}} \right| + \left| {\dfrac{{{x^2}}}{2} - 3x + 4} \right| = \dfrac{3}{4}\)có nghiệm là :

Ta có: \(\dfrac{{{x^2}}}{2} - 2x + \dfrac{3}{2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.;\) \(\dfrac{{{x^2}}}{2} - 3x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 4\end{array} \right.\)

Từ đó ta phá dấu giá trị tuyệt đối của mỗi biểu thức như sau:

TH1: \(x \le 1\)

Phương trình thành: \(\dfrac{{{x^2}}}{2} - 2x + \dfrac{3}{2} + \dfrac{{{x^2}}}{2} - 3x + 4 = \dfrac{3}{4}\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 5x + \dfrac{{19}}{4} = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{5 + \sqrt 6 }}{2}\;\;\left( l \right)\\x = \dfrac{{5 - \sqrt 6 }}{2}\;\;\left( l \right)\end{array} \right.\)

TH 2: \(1 < x < 2\)

Phương trình thành: \( - \dfrac{{{x^2}}}{2} + 2x - \dfrac{3}{2} + \dfrac{{{x^2}}}{2} - 3x + 4 = \dfrac{3}{4}\)\( \Leftrightarrow x = \dfrac{7}{4}\;\;\left( n \right)\).

TH 3: \(2 \le x \le 3\)

Phương trình thành: \( - \dfrac{{{x^2}}}{2} + 2x - \dfrac{3}{2} - \dfrac{{{x^2}}}{2} + 3x - 4 = \dfrac{3}{4}\)\( \Leftrightarrow  - {x^2} + 5x - \dfrac{{25}}{4} = 0\)\( \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2}\;\;\left( n \right)\)

TH 4: \(3 < x < 4\)

Phương trình thành: \(\dfrac{{{x^2}}}{2} - 2x + \dfrac{3}{2} - \dfrac{{{x^2}}}{2} + 3x - 4 = \dfrac{3}{4}\)\( \Leftrightarrow x = \dfrac{{13}}{4}\;\;\left( n \right)\)

TH 4: \(x \ge 4\)

Phương trình thành: \(\dfrac{{{x^2}}}{2} - 2x + \dfrac{3}{2} + \dfrac{{{x^2}}}{2} - 3x + 4 = \dfrac{3}{4}\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 5x + \dfrac{{19}}{4} = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{5 + \sqrt 6 }}{2}\;\;\left( l \right)\\x = \dfrac{{5 - \sqrt 6 }}{2}\;\;\left( l \right)\end{array} \right.\)