Phương trình $\dfrac{{x - m}}{{x + 1}} = \dfrac{{x - 2}}{{x - 1}}$ có nghiệm duy nhất khi :

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne  - 1\end{array} \right.$

Phương trình \(\left( 1 \right)\) thành

$\dfrac{{x - m}}{{x + 1}} = \dfrac{{x - 2}}{{x - 1}}\;\;\left( 1 \right)$$ \Leftrightarrow \left( {x - m} \right)\left( {x - 1} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)$$ \Leftrightarrow {x^2} - x - mx + m = {x^2} - x - 2$$ \Leftrightarrow mx = m + 2\,\,\,\left( 2 \right)$

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm duy nhất

\( \Leftrightarrow \) Phương trình \(\left( 2 \right)\) có nghiệm duy nhất khác \( - 1\) và \(1\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\\dfrac{{m + 2}}{m} \ne 1\\\dfrac{{m + 2}}{m} \ne  - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m + 2 \ne m\\m + 2 \ne  - m\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\2 \ne 0\;\;\left( {ld} \right)\\m \ne  - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ne  - 1\end{array} \right.\).