Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để bất phương trình $m\left( {x - m} \right) \ge x - 1$ có tập nghiệm là \(\left( { - \infty ;m + 1} \right]\).
Bất phương trình viết lại $\left( {m - 1} \right)x \ge {m^2} - 1$.
Xét $m - 1 > 0 \leftrightarrow m > 1$, bất phương trình $ \Leftrightarrow x \ge \dfrac{{{m^2} - 1}}{{m - 1}} = m + 1$$ \Rightarrow S = \left[ {m + 1; + \infty } \right)$
Xét $m - 1 < 0 \leftrightarrow m < 1$, bất phương trình $ \Leftrightarrow x \le \dfrac{{{m^2} - 1}}{{m - 1}} = m + 1$$ \Rightarrow S = \left( { - \infty ;m + 1} \right]$
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình \(m\left( {x - 1} \right) < 2x - 3\) có nghiệm.
Bất phương trình viết lại $\left( {m - 2} \right)x < m - 3$.
- Rõ ràng \(m - 2 \ne 0 \leftrightarrow m \ne 2\) thì bất phương trình có nghiệm.
- Xét $m - 2 = 0 \leftrightarrow m = 2$, bất phương trình trở thành $0x < - 1$ (vô lí).
Vậy bất phương trình có nghiệm khi \(m \ne 2\).
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình \(m\left( {x - 1} \right) < 3 - x\) có nghiệm.
Bất phương trình viết lại $\left( {m + 1} \right)x < m + 3$.
- Rõ ràng \(m + 1 \ne 0\) thì bất phương trình có nghiệm.
- Xét $m + 1 = 0 \leftrightarrow m = - 1$, bất phương trình trở thành $0x < 2$ (luôn đúng với mọi \(x\)).
Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi \(m\).
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình \({m^2}x - 1 < mx + m\) có nghiệm.
Bất phương trình viết lại $\left( {{m^2} - m} \right)x < m + 1$.
- Rõ ràng \({m^2} - m \ne 0\) thì bất phương trình có nghiệm.
- Xét ${m^2} - m = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0 \Rightarrow 0x < 1 \Rightarrow S = \mathbb{R}\\m = 1 \Rightarrow 0x < 2 \Rightarrow S = \mathbb{R}\end{array} \right.$
Hợp hai trường hợp, ta được bất phương trình có nghiệm với mọi \(m \in \mathbb{R}\).
Tìm giá trị thực của tham số \(m\) để bất phương trình $m\left( {2x - 1} \right) \ge 2x + 1$ có tập nghiệm là $\left[ {1; + \infty } \right).$
Bất phương trình tương đương với $\left( {2m - 2} \right)x \ge m + 1.$
\( \bullet \) Với \(m = 1\), bất phương trình trở thành $0x \ge 2$: vô nghiệm. Do đó \(m = 1\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
\( \bullet \) Với \(m > 1\), bất phương trình tương đương với $x \ge \dfrac{{m + 1}}{{2m - 2}}$$ \Rightarrow S = \left[ {\dfrac{{m + 1}}{{2m - 2}}; + \infty } \right)$
Do đó yêu cầu bài toán $ \Leftrightarrow \dfrac{{m + 1}}{{2m - 2}} = 1 \Leftrightarrow m = 3$: thỏa mãn \(m > 1\).
\( \bullet \) Với \(m < 1\), bất phương trình tương đương với $x \le \dfrac{{m + 1}}{{2m - 2}}$ $ \Rightarrow S = \left( { - \infty ;\dfrac{{m + 1}}{{2m - 2}}} \right]$: không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy \(m = 3\) là giá trị cần tìm.
Tìm giá trị thực của tham số \(m\) để bất phương trình $2x - m < 3\left( {x - 1} \right)$ có tập nghiệm là $\left( {4; + \infty } \right).$
Bất phương trình tương đương với $2x - m < 3x - 3 \Leftrightarrow x > 3 - m.$
Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {3 - m; + \infty } \right)\)
Để bất phương trình trên có tập nghiệm là $\left( {4; + \infty } \right)$ thì \(3 - m = 4 \Leftrightarrow m = - 1.\)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để bất phương trình \({m^2}\left( {x - 2} \right) - mx + x + 5 < 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \left[ { - 2018;2} \right]\).
Cách 1. Bất phương trình \( \Leftrightarrow \left( {{m^2} - m + 1} \right)x < 2{m^2} - 5\) \( \Rightarrow x < \dfrac{{2{m^2} - 5}}{{{m^2} - m + 1}}\)
\( \Rightarrow S = \left( { - \infty ;\dfrac{{2{m^2} - 5}}{{{m^2} - m + 1}}} \right)\) (vì \({m^2} - m + 1 = {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} > 0,{\rm{ }}\forall m \in \mathbb{R}\))
Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \left[ { - 2018;2} \right] \subset \left( { - \infty ;\dfrac{{2{m^2} - 5}}{{{m^2} - m + 1}}} \right)\) \( \Leftrightarrow 2 < \dfrac{{2{m^2} - 5}}{{{m^2} - m + 1}} \Leftrightarrow m > \dfrac{7}{2}\)
Tập nghiệm \(S\) của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{x - 1}}{2} < - x + 1\\3 + x > \dfrac{{5 - 2x}}{2}\end{array} \right.$ là:
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{x - 1}}{2} < - x + 1\\3 + x > \dfrac{{5 - 2x}}{2}\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 < - 2x + 2\\6 + 2x > 5 - 2x\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x < 3\\4x > - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 1\\x > - \dfrac{1}{4}\end{array} \right.$ \( \Leftrightarrow - \dfrac{1}{4} < x < 1\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \dfrac{1}{4};1} \right)\).
Tập nghiệm \(S\) của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 < - x + 2017\\3 + 3x > \dfrac{{2018 - 2x}}{2}\end{array} \right.$ là:
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 < - x + 2017\\3 + 3x > \dfrac{{2018 - 2x}}{2}\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x < 2018\\6 + 6x > 2018 - 2x\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x < 2018\\8x > 2012\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < \dfrac{{2018}}{3}\\x > \dfrac{{2012}}{8}\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \dfrac{{2012}}{8} < x < \dfrac{{2018}}{3}$.
Tập \(S = \left[ { - 1;\dfrac{3}{2}} \right)\) là tập nghiệm của hệ bất phương trình sau đây ?
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x - 1} \right) < 1\\x \ge - 1\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x < 3\\x \ge - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 \le x < \dfrac{3}{2}$ $ \Rightarrow S = \left[ { - 1;\dfrac{3}{2}} \right)$.
A đúng.
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x - 1} \right) > 1\\x \ge - 1\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x > 3\\x \ge - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{3}{2}\\x \ge - 1\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow x > \dfrac{3}{2}$ $ \Rightarrow S = \left( {\dfrac{3}{2}; + \infty } \right)$
B sai.
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x - 1} \right) < 1\\x \le - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x < 3\\x \le - 1\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < \dfrac{3}{2}\\x \le - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x \le - 1$ $ \Rightarrow S = \left( { - \infty ; - 1} \right]$
C sai.
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x - 1} \right) > 1\\x \le - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x > 3\\x \le - 1\end{array} \right..$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{3}{2}\\x \le - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \emptyset $ $ \Rightarrow S = \emptyset $
D sai.
Tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x - 1} \right) < x + 3\\2x \le 3\left( {x + 1} \right)\end{array} \right.\) là:
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x - 1} \right) < x + 3\\2x \le 3\left( {x + 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 2 < x + 3\\2x \le 3x + 3\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 5\\x \ge - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow - 3 \le x < 5$ $ \Rightarrow S = \left[ { - 3;5} \right)$
Số nghiệm nguyên của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}6x + \dfrac{5}{7} > 4x + 7\\\dfrac{{8x + 3}}{2} < 2x + 25\end{array} \right.$ là:
Bất phương trình $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}42x + 5 > 28x + 49\\8x + 3 < 4x + 50\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}14x > 44\\4x < 47\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{{44}}{{14}}\\x < \dfrac{{47}}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \dfrac{{44}}{{14}} < x < \dfrac{{47}}{4}$
Do \(x \in \mathbb{Z}\) nên $x \in \left\{ {4;5;6;7;8;9;10;11} \right\}$.
Tổng của tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}5x - 2 < 4x + 5\\{x^2} < {\left( {x + 2} \right)^2}\end{array} \right.$ bằng
Bất phương trình $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x - 2 < 4x + 5\\{x^2} < {x^2} + 4x + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 7\\ - 4x < 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 7\\ - x < 1\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 7}\\{x > - 1}\end{array} \Leftrightarrow - 1 < x < 7} \right.$ $ \Rightarrow x \in \left\{ {0;1;2;3;4;5;6} \right\}$
Suy ra tổng bằng \(21\).
Cho bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 - x} \right)^2} \le 8 - 4x + {x^2}\\{\left( {x + 2} \right)^3} < {x^3} + 6{x^2} + 13x + 9\end{array} \right.\). Tổng nghiệm nguyên lớn nhất và nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình bằng:
Bất phương trình \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - 2x + {x^2} \le 8 - 4x + {x^2}\\{x^3} + 6{x^2} + 12x + 8 < {x^3} + 6{x^2} + 13x + 9\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - 2x \le 8 - 4x\\12x + 8 < 13x + 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x \le 7\\ - x < 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \dfrac{7}{2}\\x > - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 < x \le \dfrac{7}{2}\)
Do \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}\).
Suy ra tổng cần tính là \(0 + 3 = 3\).
Hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3\left( {x - 6} \right) < - 3\\\dfrac{{5x + m}}{2} > 7\end{array} \right.$ có nghiệm khi và chỉ khi:
Bất phương trình $3\left( {x - 6} \right) < - 3$ có tập nghiệm \({S_1} = \left( { - \infty ;5} \right).\)
Bất phương trình $\dfrac{{5x + m}}{2} > 7$ có tập nghiệm \({S_2} = \left( {\dfrac{{14 - m}}{5}; + \infty } \right).\)
Hệ có nghiệm khi và chỉ khi \({S_1} \cap {S_2} \ne \,\emptyset \, \Leftrightarrow \dfrac{{14 - m}}{5} < 5\, \Leftrightarrow m > - 11.\)
Hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\\left( {{m^2} + 1} \right)x < 4\end{array} \right.$ có nghiệm khi và chỉ khi:
Bất phương trình \(x - 2 \ge \Leftrightarrow x \ge 2\) có tập nghiệm \({S_1} = \left[ {2; + \infty } \right)\).
Bất phương trình \(\left( {{m^2} + 1} \right)x < 4 \Leftrightarrow x < \dfrac{4}{{{m^2} + 1}}\) (do \({m^2} + 1 > 0\)).
Suy ra \({S_2} = \left( { - \infty ;\dfrac{4}{{{m^2} + 1}}} \right)\).
Để hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \({S_1} \cap {S_2} \ne \emptyset \Leftrightarrow \dfrac{4}{{{m^2} + 1}} > 2\)
Giải bất phương trình \(\dfrac{4}{{{m^2} + 1}} > 2 \Leftrightarrow 4 > 2\left( {{m^2} + 1} \right)\) \( \Leftrightarrow 2 > 2{m^2} \Leftrightarrow {m^2} < 1\) \( \Leftrightarrow - 1 < m < 1\)
Tìm giá trị thực của tham số \(m\) để hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}mx \le m - 3\\\left( {m + 3} \right)x \ge m - 9\end{array} \right.\) có nghiệm duy nhất.
Giả sử hệ có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{{m - 3}}{m} = \dfrac{{m - 9}}{{m + 3}} \Leftrightarrow m = 1.\)
Thử lại với \(m = 1\), hệ bất phương trình trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}x \le - 2\\x \ge - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - 2\).
Vậy \(m = 1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Tìm giá trị thực của tham số \(m\) để hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2m\left( {x + 1} \right) \ge x + 3\\4mx + 3 \ge 4x\end{array} \right.\) có nghiệm duy nhất.
Hệ bất phương trình tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {2m - 1} \right)x \ge 3 - 2m\\\left( {4m - 4} \right)x \ge - 3\end{array} \right..\)
Giả sử hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất thì
\(\dfrac{{3 - 2m}}{{2m - 1}} = \dfrac{{ - 3}}{{4m - 4}}\)\( \Leftrightarrow 8{m^2} - 26m + 15 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{3}{4}\)hoặc \(m = \dfrac{5}{2}\).
Thử lại
\( \bullet \) Với \(m = \dfrac{3}{4}\), hệ trở thành \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {\dfrac{3}{2} - 1} \right)x \ge 3 - \dfrac{3}{2}}\\{ - x \ge - 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 3}\\{x \le 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = 3\): thỏa mãn.
\( \bullet \) Với \(m = \dfrac{5}{2}\), hệ trở thành \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x \ge - 2}\\{6x \ge - 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x \ge - \dfrac{1}{2}\): không thỏa mãn.
Vậy \(m = \dfrac{3}{4}\) là giá trị cần tìm
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{m^2}x \ge 6 - x\\3x - 1 \le x + 5\end{array} \right.\) có nghiệm duy nhất.
Bất phương trình \({m^2}x \ge 6 - x\)\( \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 1} \right)x \ge 6\) \( \Leftrightarrow x \ge \dfrac{6}{{{m^2} + 1}}\)
\( \Rightarrow {S_1} = \left[ {\dfrac{6}{{{m^2} + 1}}; + \infty } \right).\)
Bất phương trình \(3x - 1 \le x + 5 \Leftrightarrow 2x \le 6 \Leftrightarrow x \le 3\)\( \Rightarrow {S_2} = \left( { - \infty ;3} \right]\)
Để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow {S_1} \cap {S_2}\) là tập hợp có đúng một phần tử \( \Leftrightarrow \dfrac{6}{{{m^2} + 1}} = 3 \Leftrightarrow {m^2} = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1.\)
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 3} \right)^2} \ge {x^2} + 7x + 1\\2m \le 8 + 5x\end{array} \right.\) có nghiệm duy nhất.
Bất phương trình \({\left( {x - 3} \right)^2} \ge {x^2} + 7x + 1\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 9 \ge {x^2} + 7x + 1\) \( \Leftrightarrow x \le \dfrac{8}{{13}}\)
\( \Rightarrow {S_1} = \left( { - \infty ;\dfrac{8}{{13}}} \right].\)
Bất phương trình \(2m \le 8 + 5x \Leftrightarrow x \ge \dfrac{{2m - 8}}{5}\)\( \Rightarrow {S_2} = \left[ {\dfrac{{2m - 8}}{5}; + \infty } \right)\)
Để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow {S_1} \cap {S_2}\) là tập hợp có đúng một phần tử $ \Leftrightarrow \dfrac{8}{{13}} = \dfrac{{2m - 8}}{5} \Leftrightarrow m = \dfrac{{72}}{{13}}.$
