Tìm giá trị thực của tham số \(m\) để hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2m\left( {x + 1} \right) \ge x + 3\\4mx + 3 \ge 4x\end{array} \right.\) có nghiệm duy nhất.

Hệ bất phương trình tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {2m - 1} \right)x \ge 3 - 2m\\\left( {4m - 4} \right)x \ge  - 3\end{array} \right..\)

Giả sử hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất thì

      \(\dfrac{{3 - 2m}}{{2m - 1}} = \dfrac{{ - 3}}{{4m - 4}}\)\( \Leftrightarrow 8{m^2} - 26m + 15 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{3}{4}\)hoặc \(m = \dfrac{5}{2}\).

Thử lại

\( \bullet \) Với \(m = \dfrac{3}{4}\), hệ trở thành \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {\dfrac{3}{2} - 1} \right)x \ge 3 - \dfrac{3}{2}}\\{ - x \ge  - 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 3}\\{x \le 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = 3\): thỏa mãn.

\( \bullet \) Với \(m = \dfrac{5}{2}\), hệ trở thành \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x \ge  - 2}\\{6x \ge  - 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x \ge  - \dfrac{1}{2}\): không thỏa mãn.

Vậy \(m = \dfrac{3}{4}\) là giá trị cần tìm