Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bất phương trình $2x + 7 \ge 8x + 1$ $ \Leftrightarrow  - 6x \ge  - 6 \Leftrightarrow x \le 1$ $ \Rightarrow {S_1} = \left( { - \infty ;1} \right]$

Bất phương trình $m + 5 < 2x \leftrightarrow x > \dfrac{{m + 5}}{2}$ $ \Rightarrow {S_2} = \left( {\dfrac{{m + 5}}{2}; + \infty } \right)$.

Để hệ bất phương trình vô nghiệm \( \Leftrightarrow {S_1} \cap {S_2} = \emptyset \) \( \Leftrightarrow 1 \le \dfrac{{m + 5}}{2} \Leftrightarrow m \ge  - 3\)

Bất phương trình ${\left( {x - 3} \right)^2} \ge {x^2} + 7x + 1$ $ \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 9 \ge {x^2} + 7x + 1$

$ \Leftrightarrow  - 6x + 9 \ge 7x + 1$ $ \Leftrightarrow 8 \ge 13x \Leftrightarrow x \le \dfrac{8}{{13}}$ $ \Rightarrow {S_1} = \left( { - \infty ;\dfrac{8}{{13}}} \right]$

Bất phương trình $2m \le 8 + 5x$ $ \Leftrightarrow 5x \ge 2m - 8 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{{2m - 8}}{5}$  \( \Rightarrow {S_2} = \left[ {\dfrac{{2m - 8}}{5}; + \infty } \right)\).

Để hệ bất phương trình vô nghiệm \( \Leftrightarrow {S_1} \cap {S_2} = \emptyset  \Leftrightarrow \dfrac{8}{{13}} < \dfrac{{2m - 8}}{5}\) \( \Leftrightarrow m > \dfrac{{72}}{{13}}\).

Bất phương trình $2\left( {x - 3} \right) < 5\left( {x - 4} \right) \Leftrightarrow x > \dfrac{{14}}{3}$ $ \Rightarrow {S_1} = \left( {\dfrac{{14}}{3}; + \infty } \right)$

Bất phương trình $mx + 1 \le x - 1$ $ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)x \le  - 2$ \(\left( * \right)\)

• Với \(m = 1\), khi đó \(\left( * \right)\) trở thành \(0x \le - 2\): vô nghiệm \( \Rightarrow \) hệ vô nghiệm.
• Với \(m > 1\), ta có \(\left( * \right) \Leftrightarrow x \le \dfrac{{ - 2}}{{m - 1}}\) \( \Rightarrow {S_2} = \left( { - \infty ;\dfrac{{ - 2}}{{m - 1}}} \right]\)

    \( \Rightarrow \)hệ bất phương trình vô nghiệm \( \Leftrightarrow {S_1} \cap {S_2} = \emptyset \) \( \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2}}{{m - 1}} \le \dfrac{{14}}{3}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{ - 6}}{{3\left( {m - 1} \right)}} \le \dfrac{{14\left( {m - 1} \right)}}{{3\left( {m - 1} \right)}}\) \( \Leftrightarrow  - 6 \le 14\left( {m - 1} \right) \Leftrightarrow m \ge \dfrac{4}{7}\) (do với \(m > 1 \Rightarrow m - 1 > 0\)).

Kết hợp điều kiện \(m > 1\) ta được \(m > 1\).

• Với \(m < 1\), ta có \(\left( * \right) \Leftrightarrow x \ge \dfrac{{ - 2}}{{m - 1}}\) \( \Rightarrow {S_2} = \left[ {\dfrac{{ - 2}}{{m - 1}}; + \infty } \right)\)

Khi đó \({S_1} \cap {S_2}\) luôn luôn khác rỗng nên \(m < 1\) không thỏa mãn.

Vậy \(m \ge 1\) thì hệ bất phương trình vô nghiệm.

\(\left\{ \begin{array}{l}3x + 1 > 2x + 7\\4x + 3 \le 2x + 21\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 6\\2x \le 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 6\\x \le 9\end{array} \right. \Leftrightarrow 6 < x \le 9.\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( {6;9} \right].\)

\(9\left( {x - \dfrac{1}{5}} \right) < 7 - 2x \Leftrightarrow 9x - \dfrac{9}{5} + 2x < 7\)\( \Leftrightarrow 11x < \dfrac{{44}}{5} \Leftrightarrow x < \dfrac{4}{5}.\)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 11 < 4x - 8\\4x - 8 < 3x - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x >  - 3\\x < 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - 1\\x < 4\end{array} \right. \Rightarrow  - 1 < x < 4\\x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3} \right\}.\\ \Rightarrow S = \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3} \right\}.\end{array}\)

Vậy hệ có 4 nghiệm nguyên.

Bất phương trình $5x - 1 \ge \dfrac{{2x}}{5} + 3$\( \Leftrightarrow 25x - 5 \ge 2x + 15 \Leftrightarrow 23x \ge 20 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{{20}}{{23}}.\)

\(\begin{array}{l}{m^2}x + 1 > \left( {x + 1} \right)m \Leftrightarrow {m^2}x - mx - m + 1 > 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m - 1} \right)x - m + 1 > 0\,\,\,\left( * \right)\,\end{array}\)

Bất phương trình vô nghiệm \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m\left( {m - 1} \right) = 0\\ - m + 1 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 1\end{array} \right.\\m \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1.\)

Bất phương trình \(\left( {{m^2} - 1} \right)x + m > 0\) vô nghiệm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 1 = 0\\m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 1\end{array} \right.\\m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  - 1\)

Vậy có 1 giá trị thực của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Điều kiện xác định: \(x \le 3.\)

\(\dfrac{{5x + 1}}{2} + \sqrt {3 - x}  \ge \dfrac{x}{2} + \sqrt {3 - x}  \Leftrightarrow \dfrac{{5x + 1}}{2} \ge \dfrac{x}{2}\)\( \Leftrightarrow 5x + 1 \ge x \Leftrightarrow 4x \ge  - 1 \Leftrightarrow x \ge  - \dfrac{1}{4}\)

Kết hợp với điều kiện \(x \le 3\) ta có tập nghiệm của bất phương là: \(\left[ { - \dfrac{1}{4};\,\,3} \right].\)

Bất phương trình $\dfrac{{3x + 5}}{2} - 1 \le \dfrac{{x + 2}}{3} + x$\( \Leftrightarrow 9x + 15 - 6 \le 2x + 4 + 6x \Leftrightarrow x \le  - 5.\)

Vì \(x \in \mathbb{Z}, - 10 < x \le  - 5\) nên có $5$  nghiệm nguyên.

Bất phương trình \(x\left( {2 - x} \right) \ge x\left( {7 - x} \right) - 6\left( {x - 1} \right)\)

$ \Leftrightarrow 2x - {x^2} \ge 7x - {x^2} - 6x + 6 \Leftrightarrow x \ge 6$.

Mà $x \in \mathbb{Z};x \in \left[ { - 10;10} \right] \Rightarrow x \in \left\{ {6;7;8;9;10} \right\}$

Vậy tổng các nghiệm nguyên cần tìm là: 6+7+8+9+10=40.

Điều kiện: \(x > 4.\)

Bất phương trình tương đương :

\(x - 2 \le 4 \Leftrightarrow x \le 6 \Rightarrow 4 < x \le 6\)

Mà \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x = 5;x = 6 \Rightarrow S = 5 + 6 = 11\)

- Rõ ràng nếu \(m \ne 1\) bất phương trình luôn có nghiệm.

- Xét \(m = 1\) bất phương trình trở thành \(0x > 3\): vô nghiệm.

Rõ ràng nếu \({m^2} - m \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 1}\\{m \ne 0}\end{array}} \right.\) bất phương trình luôn có nghiệm.

Do đó ta chỉ xét $m^2-m=0$ hay $m=0$ hoặc $m=1$.

Với \(m = 1\) bất phương trình trở thành \(0x < 1\): nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\) .

Với \(m = 0\) bất phương trình trở thành \(0x < 0\): vô nghiệm.

Bất phương trình tương đương với $\left( {{m^2} - m - 6} \right)x <  - 2 - m$.

Rõ ràng nếu \({m^2} - m - 6 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne  - 2}\\{m \ne 3}\end{array}} \right.\) bất phương trình luôn có nghiệm.

Với \(m =  - 2\) bất phương trình trở thành \(0x < 0\): vô nghiệm.

Với \(m = 3\) bất phương trình trở thành \(0x <  - 5\): vô nghiệm.

Suy ra \(S = \left\{ { - 2;3} \right\} \Rightarrow  - 2 + 3 = 1\)

Bất phương trình tương đương với \({\left( {m + 3} \right)^2}x \ge m - 3\).

Với \(m =  - 3\) bất phương trình trở thành \(0x \ge  - 6\): nghiệm đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Bất phương trình viết lại $\left( {m - 2} \right)x > 4 - {m^2}$.

Xét $m - 2 > 0 \leftrightarrow m > 2$, bất phương trình

      $ \Leftrightarrow x > \dfrac{{4 - {m^2}}}{{m - 2}} =  - m - 2 \to S = \left( { - m - 2; + \infty } \right)$.

Xét \(m - 2 < 0 \Leftrightarrow m < 2\) thì bất phương trình:

\( \Leftrightarrow x < \dfrac{{4 - {m^2}}}{{m - 2}} =  - 2 - m \Rightarrow x \in \left( { - \infty ; - m - 2} \right)\) (loại)

Rõ ràng \({m^2} + m - 6 \ne 0\) thì bất phương trình có nghiệm.

Xét ${m^2} + m - 6 = 0 \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2 \Rightarrow 0x \ge 3 \Rightarrow S = \emptyset \\m = - 3 \Rightarrow 0x \ge - 2 \Rightarrow S = \mathbb{R}\end{array} \right.$

Hợp hai trường hợp, ta được bất phương trình có nghiệm khi \(m \ne 2\).

Bất phương trình tương đương với $\left( {m - 2} \right)x < 3m - 6.$

Với \(m < 2\), bất phương trình tương đương với $x > \dfrac{{3m - 6}}{{m - 2}} = 3 \Rightarrow S = \left( {3; + \infty } \right)$

Suy ra phần bù của $S$ là \(\left( { - \infty ;3} \right].\)