Hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x - 3} \right) < 5\left( {x - 4} \right)\\mx + 1 \le x - 1\end{array} \right.$ vô nghiệm khi và chỉ khi:

Bất phương trình $2\left( {x - 3} \right) < 5\left( {x - 4} \right) \Leftrightarrow x > \dfrac{{14}}{3}$ $ \Rightarrow {S_1} = \left( {\dfrac{{14}}{3}; + \infty } \right)$

Bất phương trình $mx + 1 \le x - 1$ $ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)x \le  - 2$ \(\left( * \right)\)

• Với \(m = 1\), khi đó \(\left( * \right)\) trở thành \(0x \le - 2\): vô nghiệm \( \Rightarrow \) hệ vô nghiệm.
• Với \(m > 1\), ta có \(\left( * \right) \Leftrightarrow x \le \dfrac{{ - 2}}{{m - 1}}\) \( \Rightarrow {S_2} = \left( { - \infty ;\dfrac{{ - 2}}{{m - 1}}} \right]\)

    \( \Rightarrow \)hệ bất phương trình vô nghiệm \( \Leftrightarrow {S_1} \cap {S_2} = \emptyset \) \( \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2}}{{m - 1}} \le \dfrac{{14}}{3}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{ - 6}}{{3\left( {m - 1} \right)}} \le \dfrac{{14\left( {m - 1} \right)}}{{3\left( {m - 1} \right)}}\) \( \Leftrightarrow  - 6 \le 14\left( {m - 1} \right) \Leftrightarrow m \ge \dfrac{4}{7}\) (do với \(m > 1 \Rightarrow m - 1 > 0\)).

Kết hợp điều kiện \(m > 1\) ta được \(m > 1\).

• Với \(m < 1\), ta có \(\left( * \right) \Leftrightarrow x \ge \dfrac{{ - 2}}{{m - 1}}\) \( \Rightarrow {S_2} = \left[ {\dfrac{{ - 2}}{{m - 1}}; + \infty } \right)\)

Khi đó \({S_1} \cap {S_2}\) luôn luôn khác rỗng nên \(m < 1\) không thỏa mãn.

Vậy \(m \ge 1\) thì hệ bất phương trình vô nghiệm.