Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để bất phương trình \({m^2}\left( {x - 2} \right) + m + x \ge 0\) có nghiệm \(x \in \left[ { - 1;2} \right]\).
Bất phương trình \( \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 1} \right)x \ge 2{m^2} - m \Rightarrow x \ge \dfrac{{2{m^2} - m}}{{{m^2} + 1}}\)
\( \Rightarrow S = \left[ {\dfrac{{2{m^2} - m}}{{{m^2} + 1}}; + \infty } \right).\)
Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \left[ { - 1;2} \right] \cap \left[ {\dfrac{{2{m^2} - m}}{{{m^2} + 1}}; + \infty } \right) \ne \emptyset \Leftrightarrow \dfrac{{2{m^2} - m}}{{{m^2} + 1}} \le 2 \leftrightarrow m \ge - 2.\)
Tập nghiệm \(S\) của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2 - x > 0\\2x + 1 < x - 2\end{array} \right.$ là:
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}2 - x > 0\\2x + 1 < x - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 > x\\x < - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 2\\x < - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow x < - 3.$
Tập nghiệm \(S\) của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2x - 1}}{3} > - x + 1\\\dfrac{{4 - 3x}}{2} < 3 - x\end{array} \right.$ là:
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2x - 1}}{3} > - x + 1\\\dfrac{{4 - 3x}}{2} < 3 - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 1 > - 3x + 3\\4 - 3x < 6 - 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x > 4\\ - x < 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \dfrac{4}{5}\\x > - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x > \dfrac{4}{5}$.
Biết rằng bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 < 2x - 3\\\dfrac{{5 - 3x}}{2} \le x - 3\\3x \le x + 5\end{array} \right.$ có tập nghiệm là một đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Hỏi \(a + b\) bằng:
Bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 < 2x - 3\\5 - 3x \le 2x - 6\\3x \le x + 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 < x\\11 \le 5x\\2x \le 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 2\\x \ge \dfrac{{11}}{5}\\x \le \dfrac{5}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \dfrac{{11}}{5} \le x \le \dfrac{5}{2}$.
Suy ra $a + b = \dfrac{{11}}{5} + \dfrac{5}{2} = \dfrac{{47}}{{10}}.$
Hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 > 0\\x - m < 2\end{array} \right.\) có nghiệm khi và chỉ khi:
Bất phương trình \(2x - 1 > 0\) có tập nghiệm \({S_1} = \left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right).\)
Bất phương trình \(x - m < 2\) có tập nghiệm \({S_2} = \left( { - \infty ;m + 2} \right).\)
Hệ có nghiệm khi và chỉ khi \({S_1} \cap {S_2} \ne \,\emptyset \, \Leftrightarrow m + 2 > \dfrac{1}{2}\, \Leftrightarrow m > - \dfrac{3}{2}.\)
Hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 \le 0\\x - m > 0\end{array} \right.$ có nghiệm khi và chỉ khi:
Bất phương trình ${x^2} - 1 \le 0$ có tập nghiệm \({S_1} = \left[ { - 1;1} \right]\) .
Bất phương trình $x - m > 0$ có tập nghiệm \({S_2} = \left( {m; + \infty } \right)\) .
Hệ có nghiệm \( \Leftrightarrow {S_1} \cap {S_2} \ne \emptyset \Leftrightarrow m < 1\).
Hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}m\left( {mx - 1} \right) < 2\\m\left( {mx - 2} \right) \ge 2m + 1\end{array} \right.\) có nghiệm khi và chỉ khi:
Hệ bất phương trình tương đương với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^2}x < m + 2}\\{{m^2}x \ge 4m + 1}\end{array}} \right.\).
- Với \(m = 0\), ta có hệ bất phương trình trở thành \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0x < 2}\\{0x \ge 1}\end{array}} \right.\): hệ bất phương trình vô nghiệm.
- Với \(m \ne 0\), ta có hệ bất phương trình tương đương với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < \dfrac{{m + 2}}{{{m^2}}}}\\{x \ge \dfrac{{4m + 1}}{{{m^2}}}}\end{array}} \right.\).
Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(\dfrac{{m + 2}}{{{m^2}}} > \dfrac{{4m + 1}}{{{m^2}}} \Leftrightarrow m < \dfrac{1}{3}\).
Vậy \(0 \ne m < \dfrac{1}{3}\) là giá trị cần tìm.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 \ge 3\\x - m \le 0\end{array} \right.\) có nghiệm duy nhất.
Bất phương trình \(2x - 1 \ge 3 \leftrightarrow x \ge 2 \Rightarrow {S_1} = \left[ {2; + \infty } \right).\)
Bất phương trình \(x - m \le 0 \leftrightarrow x \le m \Rightarrow {S_2} = \left( { - \infty ;m} \right]\).
Để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow {S_1} \cap {S_2}\) là tập hợp có đúng một phần tử \( \Leftrightarrow 2 = m.\)
Hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3x + 4 > x + 9\\1 - 2x \le m - 3x + 1\end{array} \right.$ vô nghiệm khi và chỉ khi:
Bất phương trình $3x + 4 > x + 9 \leftrightarrow 2x > 5 \leftrightarrow x > \dfrac{5}{2} \Rightarrow {S_1} = \left( {\dfrac{5}{2}; + \infty } \right).$
Bất phương trình $1 - 2x \le m - 3x + 1 \leftrightarrow x \le m \Rightarrow {S_2} = \left( { - \infty ;m} \right]$.
Để hệ bất phương trình vô nghiệm \( \Leftrightarrow {S_1} \cap {S_2} = \emptyset \Leftrightarrow m \le \dfrac{5}{2}.\)
Hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3x + 5 \ge x - 1\\{\left( {x + 2} \right)^2} \le {\left( {x - 1} \right)^2} + 9\\mx + 1 > \left( {m - 2} \right)x + m\end{array} \right.$ vô nghiệm khi và chỉ khi:
Bất phương trình $3x + 5 \ge x - 1 \leftrightarrow 2x \ge - 6 \leftrightarrow x \ge - 3 \Rightarrow {S_1} = \left[ { - 3; + \infty } \right).$
Bất phương trình ${\left( {x + 2} \right)^2} \le {\left( {x - 1} \right)^2} + 9 \leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 \le {x^2} - 2x + 1 + 9$
$ \leftrightarrow 4x + 4 \le - 2x + 1 + 9 \leftrightarrow 6x \le 6 \leftrightarrow x \le 1 \Rightarrow {S_2} = \left( { - \infty ;1} \right].$
Suy ra \({S_1} \cap {S_2} = \left[ { - 3;1} \right]\).
Bất phương trình $mx + 1 > \left( {m - 2} \right)x + m \leftrightarrow mx + 1 > mx - 2x + m$
$ \leftrightarrow 1 > - 2x + m \leftrightarrow 2x > m - 1 \leftrightarrow x > \dfrac{{m - 1}}{2} \Rightarrow {S_3} = \left( {\dfrac{{m - 1}}{2}; + \infty } \right).$
Để hệ bất phương trình vô nghiệm \( \Leftrightarrow \left( {{S_1} \cap {S_2}} \right) \cap {S_3} = \emptyset \Leftrightarrow \dfrac{{m - 1}}{2} \ge 1 \Leftrightarrow m \ge 3.\)
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình \(mx + 4 > 0\) nghiệm đúng với mọi \(\left| x \right| < 8\).
Cách 1. Ta có \(\left| x \right| < 8 \Leftrightarrow - 8 < x < 8 \Leftrightarrow x \in \left( { - 8;8} \right).\)
\( \bullet \) TH1: \(m > 0\), bất phương trình \( \Leftrightarrow mx > - 4 \Leftrightarrow x > - \dfrac{4}{m} \Rightarrow S = \left( { - \dfrac{4}{m}; + \infty } \right).\)
Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \left( { - 8;8} \right) \subset S \Leftrightarrow - \dfrac{4}{m} \le - 8 \Leftrightarrow m \le \dfrac{1}{2}.\)
Suy ra \(0 < m \le \dfrac{1}{2}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
\( \bullet \) TH2: \(m = 0\), bất phương trình trở thành \(0.x + 4 > 0\): đúng với mọi \(x.\)
Do đó \(m = 0\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
\( \bullet \) TH3: \(m < 0\), bất phương trình \( \Leftrightarrow mx > - 4 \Leftrightarrow x < - \dfrac{4}{m} \Rightarrow S = \left( { - \infty ; - \dfrac{4}{m}} \right).\)
Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \left( { - 8;8} \right) \subset S \Leftrightarrow - \dfrac{4}{m} \ge 8 \Leftrightarrow m \ge - \dfrac{1}{2}.\)
Suy ra \( - \dfrac{1}{2} \le m < 0\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Kết hợp các trường hợp ta được \( - \dfrac{1}{2} \le m \le \dfrac{1}{2}\) là giá trị cần tìm.
Tập nghiệm của bất phương trình \(4x - 5 \ge 3\) là
Ta có:
\(4x - 5 \ge 3 \Leftrightarrow 4x \ge 8 \Leftrightarrow x \ge 2\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(4x - 5 \ge 3\) là \(S = \left[ {2;\,\, + \infty } \right)\).
Biết rằng hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 < 2x - 3\\\dfrac{{5 - 3x}}{2} \le x - 3\\3x \le x + 5\end{array} \right.\) có tập nghiệm là một đoạn \(\left[ {a;\,\,b} \right]\). Giá trị của biểu thức \(a + b\) bằng:
Theo đề bài, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 < 2x - 3\\\dfrac{{5 - 3x}}{2} \le x - 3\\3x \le x + 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 < 2x - 3\\5 - 3x \le 2x - 6\\3x \le x + 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 2\\5x \ge 11\\2x \le 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 2\\x \ge \dfrac{{11}}{5}\\x \le \dfrac{5}{2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{11}}{5} \le x \le \dfrac{5}{2}\)
Vậy hệ bất phương trình có tập nghiệm \(S = \left[ {\dfrac{{11}}{5};\,\,\dfrac{5}{2}} \right]\)\( \Rightarrow a = \dfrac{{11}}{5},\,\,b = \dfrac{5}{2}\)
\( \Rightarrow a + b = \dfrac{{11}}{5} + \dfrac{5}{2} = \dfrac{{47}}{{10}}\)
Bạn An chọn một số nguyên, nhân số đó với 4 rồi trừ đi 30. Lấy kết quả có được nhân với 2 và cuối cùng trừ đi 10 thì được một số có hai chữ số. Số lớn nhất An có thể chọn được có hàng đơn vị bằng:
Gọi số nguyên lớn nhất bạn An có thể chọn là \(x\) \(\left( {x \in \mathbb{Z}} \right)\).
Theo bài ra ta có \(2\left( {4x - 30} \right) - 10\) là số có 2 chữ số.
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}10 \le 2\left( {4x - 30} \right) - 10 \le 99\\ - 99 \le 2\left( {4x - 30} \right) - 10 \le - 10\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}20 \le 2\left( {4x - 30} \right) \le 109\\ - 89 \le 2\left( {4x - 30} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}10 \le 4x - 30 \le \dfrac{{109}}{2}\\ - \dfrac{{89}}{2} \le 4x - 30 \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}40 \le 4x \le \dfrac{{169}}{2}\\ - \dfrac{{29}}{2} \le 4x \le 30\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}10 \le x \le \dfrac{{169}}{8}\\ - \dfrac{{29}}{8} \le x \le \dfrac{{30}}{4}\end{array} \right.\end{array}\)
Vì \(x \in \mathbb{Z}\) và \(x\) là số lớn nhất nên \(x = 21\).
Vậy số lớn nhất An có thể chọn có hàng đơn vị bằng 1.
