Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình \(mx + 4 > 0\) nghiệm đúng với mọi \(\left| x \right| < 8\).

Cách 1. Ta có \(\left| x \right| < 8 \Leftrightarrow  - 8 < x < 8 \Leftrightarrow x \in \left( { - 8;8} \right).\)

\( \bullet \) TH1: \(m > 0\), bất phương trình \( \Leftrightarrow mx >  - 4 \Leftrightarrow x >  - \dfrac{4}{m} \Rightarrow S = \left( { - \dfrac{4}{m}; + \infty } \right).\)

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \left( { - 8;8} \right) \subset S \Leftrightarrow  - \dfrac{4}{m} \le  - 8 \Leftrightarrow m \le \dfrac{1}{2}.\)

Suy ra \(0 < m \le \dfrac{1}{2}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

\( \bullet \) TH2: \(m = 0\), bất phương trình trở thành \(0.x + 4 > 0\): đúng với mọi \(x.\)

Do đó \(m = 0\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

\( \bullet \) TH3: \(m < 0\), bất phương trình \( \Leftrightarrow mx >  - 4 \Leftrightarrow x <  - \dfrac{4}{m} \Rightarrow S = \left( { - \infty ; - \dfrac{4}{m}} \right).\)

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \left( { - 8;8} \right) \subset S \Leftrightarrow  - \dfrac{4}{m} \ge 8 \Leftrightarrow m \ge  - \dfrac{1}{2}.\)

Suy ra \( - \dfrac{1}{2} \le m < 0\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Kết hợp các trường hợp ta được \( - \dfrac{1}{2} \le m \le \dfrac{1}{2}\) là giá trị cần tìm.