Tìm giá trị thực của tham số \(m\) để bất phương trình $m\left( {2x - 1} \right) \ge 2x + 1$ có tập nghiệm là $\left[ {1; + \infty } \right).$

Bất phương trình tương đương với $\left( {2m - 2} \right)x \ge m + 1.$

\( \bullet \) Với \(m = 1\), bất phương trình trở thành $0x \ge 2$: vô nghiệm. Do đó \(m = 1\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

\( \bullet \) Với \(m > 1\), bất phương trình tương đương với $x \ge \dfrac{{m + 1}}{{2m - 2}}$$ \Rightarrow S = \left[ {\dfrac{{m + 1}}{{2m - 2}}; + \infty } \right)$

Do đó yêu cầu bài toán $ \Leftrightarrow \dfrac{{m + 1}}{{2m - 2}} = 1 \Leftrightarrow m = 3$: thỏa mãn \(m > 1\).

\( \bullet \) Với \(m < 1\), bất phương trình tương đương với $x \le \dfrac{{m + 1}}{{2m - 2}}$ $ \Rightarrow S = \left( { - \infty ;\dfrac{{m + 1}}{{2m - 2}}} \right]$: không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy \(m = 3\) là giá trị cần tìm.