Với giá trị nào của \(m\) thì phương trình \({x^3} + \left( {m + 1} \right){x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x - 3m + 2 = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\)  có ba nghiệm phân biệt nhỏ hơn \(2\) ?

Ta có: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left[ {{x^2} + \left( {m + 2} \right)x + 3m - 2} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\f\left( x \right) = {x^2} + \left( {m + 2} \right)x + 3m - 2 = 0\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

\(\left( 1 \right)\) có ba nghiệm phân biệt nhỏ hơn \(2 \Leftrightarrow \left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1},\,\,{x_2} \ne 1\\{x_1} < {x_2} < 2\end{array} \right..\) 

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\f\left( 1 \right) \ne 0\\{x_1} + {x_2} < 4\\\left( {{x_1} - 2} \right)\left( {{x_2} - 2} \right) > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {3m - 2} \right) > 0\\1 + m + 2 + 3m - 2 \ne 0\\ - \left( {m + 2} \right) < 4\\{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 8m + 12 > 0\\4m \ne  - 1\\m >  - 6\\3m - 2 + 2\left( {m + 2} \right) + 4 > 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 6\\m < 2\end{array} \right.\\m \ne  - \dfrac{1}{4}\\m >  - 6\\m >  - \dfrac{6}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 6\\\left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{6}{5} < m < 2\\m \ne  - \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\end{array} \right..\end{array}\)