Bài tập ôn tập chương 3

Đặt \(t = {x^2}\) (\(t \ge 0\) )

Ta có phương trình \((\sqrt 7  - 2){t^2} - 6t + 15(2 + \sqrt 7 ) = 0\) (2)

Ta thấy phương trình (2) có $\Delta ' = 9 - 15\left( {\sqrt 7  - 2} \right)\left( {\sqrt 7  + 2} \right) =  - 36 < 0$

Suy ra phương trình vô nghiệm.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\{x^2} + {y^2} = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2 - x\\{x^2} + {\left( {2 - x} \right)^2} = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2 - x\\2{x^2} - 4x - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2 - x\\\left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1; y = 3\\x = 3; y =  - 1\end{array} \right.\).

Điều kiện: \(x,y \ne 0\)

Đặt \(u = \dfrac{1}{x},v = \dfrac{1}{y},\) thì \(hpt \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}u - 2v = 1\\u + 2v = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{3}{2}\\v = \dfrac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} = \dfrac{3}{2}\\\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{2}{3}\\y = 4\end{array} \right.\) (TMĐK).

Điều kiện: $x \ne  \pm 2$. Ta có phương trình

$\dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {3x - 5} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{{x^2} - 4}} - \dfrac{{2{x^2} + x + 3}}{{{x^2} - 4}} = 0 \Rightarrow {x^2} - 3x + 2 - 3{x^2} - x + 10 - 2{x^2} - x - 3 = 0$

$ \Leftrightarrow  - 4{x^2} - 5x + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - \dfrac{9}{4}\end{array} \right.$(TMĐK).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.

Phương trình \({x^2} - 2x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x =  - 2\end{array} \right.\) có tổng lập phương các nghiệm là ${4^3} + {\left( { - 2} \right)^3} = 56$.

Ta có: \(\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {10{x^2} - 31x + 24} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 1 = 0\\10{x^2} - 31x + 24 = 0\end{array} \right.\)

Phương trình \({x^2} + 1 = 0\) vô nghiệm.

Phương trình \(10{x^2} - 31x + 24 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{2}\\x = \dfrac{8}{5}\end{array} \right.\) . Do đó phương trình cho có 2 nghiệm.

Điều kiện: \(x < 2.\)

$\begin{array}{l}{\rm{PT}} \Leftrightarrow 4 - \left( {2 - x} \right) = 2\sqrt {2 - x}  \Leftrightarrow 2\sqrt {2 - x}  = 2 + x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2 \ge 0\\{\left( {x + 2} \right)^2} = 4\left( {2 - x} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\{x^2} + 8x - 4 = 0\end{array} \right.\\\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\\left[ \begin{array}{l}x =  - 4 - 2\sqrt 5 \\x =  - 4 + 2\sqrt 5 \end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x =  - 4 + 2\sqrt 5  \Rightarrow S = \left\{ { - 4 + 2\sqrt 5 } \right\}.\end{array}$

Điều kiện: \(x \ge \dfrac{5}{3}\).

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow \left( {\sqrt {10x + 1}  - \sqrt {9x + 4} } \right) + \left( {\sqrt {3x - 5}  - \sqrt {2x - 2} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{10x + 1 - \left( {9x + 4} \right)}}{{\sqrt {10x + 1}  + \sqrt {9x + 4} }} + \dfrac{{3x - 5 - \left( {2x - 2} \right)}}{{\sqrt {3x - 5}  + \sqrt {2x - 2} }} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {10x + 1}  + \sqrt {9x + 4} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {3x - 5}  + \sqrt {2x - 2} }}} \right) = 0\end{array}\)

Vì \(\forall x \ge \dfrac{5}{3} \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {10x + 1}  + \sqrt {9x + 4} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {3x - 5}  + \sqrt {2x - 2} }} > 0\) nên \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x = 3\).

Kết hợp điều kiện phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 3\).

Nhận thấy $x = y = 0$ không là nghiệm của hệ phương trình đã cho nên ta có

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}xy = 96\\{x^2} + {y^2} = 208\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{96}}{y}\\\dfrac{{9216}}{{{y^2}}} + {y^2} = 208\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{96}}{y}\\{y^4} - 208{y^2} + 9216 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{96}}{y}\\\left( {{y^2} - 144} \right)\left( {{y^2} - 64} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{96}}{y}\\\left[ \begin{array}{l}y =  \pm 8\\y =  \pm 12\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y =  - 12;x =  - 8\\y = 12;x = 8\\y = 8;x = 12\\y =  - 8;x =  - 12\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm.

PT \({x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + {m^2} - 1 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,{x_2}\)\( \Leftrightarrow \Delta  = {\left( {2m + 1} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 1} \right) > 0\)

\( \Leftrightarrow 4m + 5 > 0 \Leftrightarrow m >  - \dfrac{5}{4}\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\) .

Theo Vi - et ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m + 1\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 1\end{array} \right.\)

Ta có

\(\begin{array}{l}\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 8{x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 6{x_1}{x_2} = {\left( {2m + 1} \right)^2} + 6\left( {{m^2} - 1} \right) = 10{m^2} + 4m - 5\\ = 10\left( {{m^2} + \dfrac{2}{5}m + \dfrac{1}{{25}}} \right) - \dfrac{{27}}{5} = 10{\left( {m + \dfrac{1}{5}} \right)^2} - \dfrac{{27}}{5}\\ \Rightarrow \left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 8{x_1}{x_2} \ge  - \dfrac{{27}}{5}\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(m =  - \dfrac{1}{5}\)( thỏa mãn (*) ) .

Vậy \(\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 8{x_1}{x_2}\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(m =  - \dfrac{1}{5}\).

Phương trình \(\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 2 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},\,{x_2}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 \ne 0\\\Delta ' \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne  - 1\\{\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {m + 1} \right)\left( {m - 2} \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne  - 1\\{m^2} - 2m + 1 - {m^2} + m + 2 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne  - 1\\m \le 3\end{array} \right.\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

Theo vi ét  ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2\left( {m - 1} \right)}}{{m + 1}}\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_1}{x_2} = \dfrac{{m - 2}}{{m + 1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Ta có \(\left| {{x_1} + {x_2}} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1} + {x_2} =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{{2\left( {m - 1} \right)}}{{m + 1}} = 2\\\dfrac{{2\left( {m - 1} \right)}}{{m + 1}} =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 0\) ( thỏa mãn (*))

Điều kiện: \(x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2\).

\(\left| {3 + 4x} \right| = x - 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3 + 4x = x - 2\\3 + 4x = 2 - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x =  - 5\\5x =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{5}{3}\left( L \right)\\x =  - \dfrac{1}{5}\left( L \right)\end{array} \right.\).

Vậy phương trình vô nghiệm.

+) Đặt \(t = {x^2} - 2x + 3\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 3 - t = 0{\rm{ }}\,\,\,\left( 1 \right)\)

+) Tìm điều kiện của \(t:\)

(1) có nghiệm khi \(\Delta ' = 1 - \left( {3 - t} \right)\)\( = t - 2 \ge 0\)\( \Leftrightarrow t \ge 2{\rm{ }}\,\,\,\left( 2 \right)\)

+) Với \(t \ge 2\)

Phương trình ban đầu trở thành: \({t^2} + 2\left( {3 - m} \right)t + {m^2} - 6m = 0{\rm{ (3)}}\)

\(\Delta '_t = {\left( {3 - m} \right)^2} - \left( {{m^2} - 6m} \right)\)\( = 9 - 6m + {m^2} - {m^2} + 6m = 9\)

\( \Rightarrow \) Phương trình \(\left( 3 \right)\)  có 2 nghiệm phân biệt \(\left\{ \begin{array}{l}{t_1} = \dfrac{{m - 3 + 3}}{1}\\{t_2} = \dfrac{{m - 3 - 3}}{1}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} = m\\{t_2} = m - 6\end{array} \right.\)

Để phương trình ban đầu có nghiệm thì phương trình \(\left( 3 \right)\) có nghiệm \(t \ge 2\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 2\\m - 6 \ge 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 2\\m \ge 8\end{array} \right. \Rightarrow m \ge 2\)

Vậy với \(m \ge 2\) thì phương trình có nghiệm

ĐK: \(x \ge \dfrac{{ - 7}}{2}\)

Ta có \(\left( {x - 2} \right)\sqrt {2x + 7}  = {x^2} - 4\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\sqrt {2x + 7}  = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left[ {\sqrt {2x + 7}  - \left( {x + 2} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\\sqrt {2x + 7}  = x + 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\\left\{ \begin{array}{l}2x + 7 = {\left( {x + 2} \right)^2}\\x \ge  - 2\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\2x + 7 = {x^2} + 4x + 4\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\{x^2} + 2x - 3 = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\,\,\left( {tm} \right)\\x = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Tổng hai nghiệm của phương trình là: \(2 + 1 = 3.\)

Quỹ đạo bóng rơi là hình parabol nên ta đặt

Hàm số quỹ đạo bóng là \(h = a{t^2} + bt + c\) với \(h\) (mét) là độ cao bóng đạt, \(t\) (giây) là thời gian kể từ khi bóng được đá.

Từ giả thiết qua bóng được đá lên ở độ cao \(1,2\,m\) nên tại thời điểm \(t = 0\) thì \(h = 1,2\)

Suy ra \(\left( {0;1,2} \right)\) thuộc đồ thị hàm số, ta có \(1,2 = c\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Sau đó 1 giây, nó đạt độ cao 8,5m nên với \(t = 1\) thì \(h = 8,5\) hay parabol đi qua \(\left( {1;\,8,5} \right)\) nên \(8,5 = a + b + c\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

2 giây sau khi đá, bóng đạt độ cao 6m nên \(t = 2\) thì \(h = 6\) hay parabol đi qua \(\left( {2;6} \right)\). Vậy \(6 = 4a + 2b + c\,\,\,\,\left( 3 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)\) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}c = 1,2\\a + b + c = 8,5\\4a + 2b + c = 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 4,9\\b = 12,2\\c = 1,2\end{array} \right.\)

Suy ra hàm số: \(h =  - 4,9{t^2} + 12,2t + 1,2\)

Quả bóng chạm đất với \(h = 0 \Leftrightarrow - 4,9{t^2} + 12,2t + 1,2=0\)\(\Leftrightarrow t \approx 2,58\)  (Ta không lấy giá trị $t<0$)

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,3{x^2} - 2 = 2{x^2} - x + 4\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 3\end{array} \right.\end{array}\)

Với x = 2 thì y = 10 => A(2;10).

Với x = -3 thì y = 25 => B(-3;25).

Gọi phương trình đường thẳng AB là y = ax + b.

Vì \(A \in AB\) nên 10 = 2a + b.

Vì \(B \in AB\) nên 25 = -3a + b.

Ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}2a + b = 10\\ - 3a + b = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 3\\b = 16\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đường thẳng AB là y = –3x + 16.

Bước 1: Lập công thức

$f(x) = $\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}10000x(0 < x \le 10)\\10000 \cdot 10 + (x - 10) \cdot 15000(10 < x \le 40)\\10000 \cdot 10 + 15000 \cdot 30 + (x - 40) \cdot 12500(x > 40)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{10000x}&{(0 < x \le 10)}\\{15000x - 50000}&{(10 < x \le 40)}\\{12500x + 50000}&{(x > 40)}\end{array}} \right.\end{array}\)

Bước 2: Xác định các khoảng của $f(x)$ ứng với các khoảng của $x$

Để xác định số tiền xe là $475000$VNĐ mà người đi xe phải trả ứng với quãng đường di chuyển dài bao nhiêu, ta cần xác định công thức tương ứng

Với $f(x)=10000 x, 0<x \leq 10$ thì $0<f(x) \leq 100000$

Với $f(x)=15000 x-50000,10<x \leq 40$ thì $100000<f(x) \leq 550000$

Với $f(x)=12500 x+50000, x>40$ thì $f(x)>550000$

Bước 3: Tìm $x$ khi $f(x)=475 000$

Vi $100000<475000<550000$ nên ứng với số tiền xe $475000 \mathrm{VNĐ}$ ta có:

$15000x-50000=475 000$

Người đi xe đã đi được quãng đường là $\dfrac{475000+50000}{15000}=35(\mathrm{~km})$

Vậy người đó đã đi được quãng đường dài $35 \mathrm{~km}$

Bước 1: Gọi $x(k m)(10<x<40)$ là độ dài quãng đường $A B$

Gọi $x(k m)(10<x<40)$ là độ dài quãng đường $A B$.

Vì quãng đường $B C$ dài hơn quãng đường $A B$ là $32 \mathrm{~km}$ nên quãng đường $B C$ dài $x+32(k m)$

Bước 2: Lập phương trình

Vì số tiền người đó phải trả ở quãng đường $B C$ gấp 2,8 lần số tiền phải trả ở quãng đường $A B$ nên ta có phương trình

\(\begin{array}{l}12500(x + 32) + 50000\\ = 2,8 \cdot (15000x - 50000)\\ \Leftrightarrow x = 20(km)\end{array}\)

Vậy quãng đường $A B$ dài $20 \mathrm{~km}$

Bước 1: Số tiền chưa được giảm=Số tiền đã trả:(100%-10%)

Nếu không được giảm giá $10 \%$ thì người đi xe phải trả số tiền là:

$360000 :(100 \%-10 \%)=400000$(đồng)

Bước 2: Tìm quãng đường

Vì $100000<400000<550000$ nên người đi xe đã đi được quãng đường là:

$\dfrac{400000+50000}{15000}=30(\mathrm{~km})$

Vậy người đó đã đi được quãng đường dài $30 \mathrm{~km}$