Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( { - 3;0} \right),{\rm{ }}B\left( {3;0} \right)\) và \(C\left( {2;6} \right).\) Gọi \(H\left( {a;b} \right)\) là tọa độ trực tâm của tam giác đã cho. Tính \(a + 6b.\)
Trả lời bởi giáo viên
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} = \left( {a + 3;b} \right),\overrightarrow {BC} = \left( { - 1;6} \right)\\\overrightarrow {BH} = \left( {a - 3;b} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {5;6} \right)\end{array} \right.\)
Từ giả thiết, ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0}\\{\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {a + 3} \right).\left( { - 1} \right) + b.6 = 0}\\{\left( {a - 3} \right).5 + b.6 = 0}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2}\\{b = \dfrac{5}{6}}\end{array}} \right. \Rightarrow a + 6b = 7\)
Hướng dẫn giải:
Sử dụng tính chất trực tâm \(\overrightarrow {AH} \bot \overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {BH} \bot \overrightarrow {AC} \).