Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2;4),B(−3;1), C(3;−1). Tìm tọa độ chân đường cao A′ vẽ từ đỉnh A của tam giác đã cho.
Gọi A′(x;y). Ta có {→AA′=(x−2;y−4)→BC=(6;−2)→BA′=(x+3;y−1).
Vì A′ là chân đường cao vẽ từ đỉnh A của tam giác ABC nên AA′⊥BC và B,A′,C thẳng hàng.
⇔{→AA′.→BC=0→BA′=k→BC ⇔{(x−2).6+(y−4).(−2)=0x+36=y−1−2 ⇔{6x−2y=4−2x−6y=0⇔{x=35y=−15
Cho các vectơ →a=(1;−2),→b=(−2;−6). Khi đó góc giữa chúng là
Ta có →a=(1;−2),→b=(−2;−6), suy ra cos(→a;→b)=→a.→b|→a|.|→b|=10√5.√40=√22⇒(→a;→b)=45o
Trong mặt phẳng Oxy cho A(1;2),B(4;1),C(5;4). Tính ^BAC?
Ta có →AB=(3;−1), →AC=(4;2).
Suy ra cos(→AB;→AC)=→AB.→ACAB.AC=10√10.√20=√22⇒(→AB;→AC)=45o.
Cho hai điểm A(−3,2),B(4,3). Tìm điểm M thuộc trục Oxvà có hoành độ dương để tam giác MAB vuông tại M
Ta có A(−3,2),B(4,3), gọi M(x;0),x>0.
Khi đó →AM=(x+3;−2), →BM=(x−4;−3).
Theo YCBT →AM.→BM=0⇔x2−x−6=0⇒[x=−2(l)x=3⇒M(3;0).
ChoA(2;5),B(1;3),C(5;−1). Tìm tọa độ điểm K sao cho →AK=3→BC+2→CK
Gọi K(x;y) với x,y∈R.
Khi đó →AK=(x−2;y−5), 3→BC=(12;−12), 2→CK=(2x−10;2y+2).
Theo YCBT →AK=3→BC+2→CK nên {x−2=12+2x−10y−5=−12+2y+2⇔{x=−4y=5⇒K(−4;5)
Cho 2 vectơ →a và →b đều có độ dài bằng 1 thỏa |→a+→b|=2. Hãy xác định (3→a−4→b)(2→a+5→b)
|→a|=|→b|=1,|→a+→b|=2⇔(→a+→b)2=4⇔→a.→b=1, (3→a−4→b)(2→a+5→b)=6→a2−20→b2+7→a.→b=−7.
Cho hai vectơ →avà →b. Biết |→a|=2, |→b|=√3 và (→a,→b)=120o. Tính|→a+→b|
Ta có |→a+→b|=√(→a+→b)2=√→a2+→b2+2→a.→b=√|→a|2+|→b|2+2|→a||→b|cos(→a,→b)=√7−2√3
Trong mặt phẳng Oxy cho →a=(1;3),→b=(−2;1). Tích vô hướng của 2 vectơ →a.→b là:
Ta có →a=(1;3),→b=(−2;1), suy ra →a.→b=1.(−2)+3.1=1.
Cho các vectơ →a=(1;−3),→b=(2;5). Tính tích vô hướng của →a(→a+2→b)
Ta có →a.→a=10, →a.→b=−13 suy ra →a(→a+2→b)=−16.
Trong mặt phẳng (O;→i,→j) cho 2 vectơ : →a=3→i+6→j và →b=8→i−4→j. Kết luận nào sau đây sai?
→a=(3;6);→b=(8;−4)
Phương án A:→a.→b=24−24=0 nên loại A
Phương án B:→a.→b=0 suy ra →a vuông góc →bnên loại B
Phương án C:|→a|.|→b|=√32+62.√82+(−4)2≠0 nên chọn C.
Cặp vectơ nào sau đây vuông góc?
Phương án A: \overrightarrow a .\overrightarrow b = 2.\left( { - 3} \right) + \left( { - 1} \right).4 = - 10 \ne 0 suy ra A sai.
Phương án B: \overrightarrow a .\overrightarrow b = 3.\left( { - 3} \right) + \left( { - 4} \right).4 \ne 0 suy ra B sai.
Phương án C: \overrightarrow a .\overrightarrow b = - 2.\left( { - 6} \right) - 3.4 = 0 \Rightarrow \overrightarrow a \bot \overrightarrow b suy ra C đúng.
Phương án D: \overrightarrow a .\overrightarrow b = 7.3 + \left( { - 3} \right).\left( { - 7} \right) = 42 \ne 0 suy ra D sai.
Cho 2 vec tơ \overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right),\;\overrightarrow b = \left( {{b_1};{b_2}} \right), tìm biểu thức sai:
Phương án A : biểu thức tọa độ tích vô hướng \overrightarrow a .\overrightarrow b = {a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2} A đúng.
Phương án B : Công thức tích vô hướng của hai véc tơ \overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) nên B đúng.
Phương án C: \dfrac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {{a^2}} + \overrightarrow {{b^2}} - {{\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)}^2}} \right] = \dfrac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {{a^2}} + \overrightarrow {{b^2}} - \left( {\overrightarrow {{a^2}} + \overrightarrow {{b^2}} + 2\overrightarrow a \overrightarrow b } \right)} \right] = - \overrightarrow a \overrightarrow b nên C sai.
Trong mp Oxy cho A\left( {4;6} \right), B\left( {1;4} \right), C\left( {7;\dfrac{3}{2}} \right). Khẳng định nào sau đây sai
Phương án A: \overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 2} \right) và \overrightarrow {AC} = \left( {3; - \dfrac{9}{2}} \right) nên A đúng.
Phương án B: \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0 nên B đúng.
Phương án C : \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {13} nên C đúng.
Phương án D: Ta có \overrightarrow {BC} = \left( {6; - \dfrac{5}{2}} \right) suy ra BC = \sqrt[{}]{{{6^2} + {{\left( {\dfrac{5}{2}} \right)}^2}}} = \dfrac{{13}}{2} nên D sai.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ \overrightarrow u = \dfrac{1}{2}\overrightarrow i - 5\overrightarrow j và \overrightarrow v = k\overrightarrow i - 4\overrightarrow j . Tìm k để vectơ \overrightarrow u vuông góc với \overrightarrow v .
Từ giả thiết suy ra \overrightarrow u = \left( {\dfrac{1}{2}; - 5} \right),\overrightarrow v = \left( {k; - 4} \right).
Yêu cầu bài toán: \overrightarrow u \bot \overrightarrow v \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}k + \left( { - 5} \right)\left( { - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow k = - 40
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ \overrightarrow u = \left( {4;1} \right),{\rm{ }}\overrightarrow v = \left( {1;4} \right) và \overrightarrow a = \overrightarrow u + m.\overrightarrow v với m \in \mathbb{R}. Tìm m để \overrightarrow a vuông góc với trục hoành.
Ta có \overrightarrow a = \overrightarrow u + m.\overrightarrow v = \left( {4 + m;1 + 4m} \right). Trục hoành có vectơ đơn vị là \overrightarrow i = \left( {1;0} \right).
Vectơ \overrightarrow a vuông góc với trục hoành \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow i = 0 \Leftrightarrow 4 + m = 0 \Leftrightarrow m = - 4.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tính khoảng cách giữa hai điểm M\left( {1; - \,2} \right) và N\left( { - \,3;4} \right).
Ta có \overrightarrow {MN} = \left( { - \,4;6} \right) suy ra MN = \sqrt {{{\left( { - \,4} \right)}^2} + {6^2}} = \sqrt {42} = 2\sqrt {13} .
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A\left( {7; - 3} \right),{\rm{ }}B\left( {8;4} \right),{\rm{ }}C\left( {1;5} \right) và D\left( {0; - 2} \right). Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {1;7} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{1^2} + {7^2}} = 5\sqrt 2 \\\overrightarrow {BC} = \left( { - 7;1} \right) \Rightarrow BC = 5\sqrt 2 \\\overrightarrow {CD} = \left( { - 1; - 7} \right) \Rightarrow CD = 5\sqrt 2 \\\overrightarrow {DA} = \left( {7; - 1} \right) \Rightarrow DA = 5\sqrt 2 \end{array} \right. \Rightarrow AB = BC = CD = DA = 5\sqrt 2
Lại có \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = 1\left( { - 7} \right) + 7.1 = 0 nên AB \bot BC.
Từ đó suy ra ABCD là hình vuông.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A\left( { - 1;1} \right),{\rm{ }}B\left( {1;3} \right) và C\left( {1; - 1} \right). Khẳng định nào sau đây là đúng ?
Ta có \overrightarrow {AB} = \left( {2;2} \right),\,\,\,\overrightarrow {BC} = \left( {0; - \,4} \right) và \overrightarrow {AC} = \left( {2; - \,2} \right).
Suy ra \left\{ \begin{array}{l}AB = AC = 2\sqrt 2 \\A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\end{array} \right..
Vậy tam giác ABC vuông cân tại A.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A\left( {4;3} \right),\,\,B\left( {2;7} \right) và C\left( { - \,3; - \,8} \right). Tìm toạ độ chân đường cao A' kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC.
Gọi A'\left( {x;y} \right). Ta có \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AA'} = \left( {x - 4;y - 3} \right)\\\overrightarrow {BC} = \left( { - \,5; - \,15} \right)\\\overrightarrow {BA'} = \left( {x - 2;y - 7} \right)\end{array} \right..
Từ giả thiết, ta có A' là hình chiếu của A trên BC nếu AA' \bot BC và B,A',C thẳng hàng
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {BC} = 0}&{\left( 1 \right)}\\{\overrightarrow {BA'} = k\overrightarrow {BC} }&{\left( 2 \right)}\end{array}} \right.
\bullet \left( 1 \right) \Leftrightarrow - \,5\left( {x - 4} \right) - 15\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y = 13
\bullet \left( 2 \right) \Leftrightarrow \dfrac{{x - 2}}{{ - 5}} = \dfrac{{y - 7}}{{ - 15}} \Leftrightarrow 3x - y = - 1
Giải hệ \left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 13\\3x - y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 4\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {1;4} \right)
