Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {2;4} \right),{\rm{ }}B\left( { - 3;1} \right),\) \(C\left( {3; - 1} \right).\) Tìm tọa độ chân đường cao \(A'\) vẽ từ đỉnh \(A\) của tam giác đã cho.
Gọi \(A'\left( {x;y} \right).\) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AA'} = \left( {x - 2;y - 4} \right)\\\overrightarrow {BC} = \left( {6; - 2} \right)\\\overrightarrow {BA'} = \left( {x + 3;y - 1} \right)\end{array} \right..\)
Vì \(A'\) là chân đường cao vẽ từ đỉnh \(A\) của tam giác \(ABC\) nên \(AA' \bot BC\) và \(B,A',C\) thẳng hàng.
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {BC} = 0}\\{\overrightarrow {BA'} = k\overrightarrow {BC} }\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 2} \right).6 + \left( {y - 4} \right).\left( { - 2} \right) = 0\\\dfrac{{x + 3}}{6} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 2}}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{6x - 2y = 4}\\{ - 2x - 6y = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \dfrac{3}{5}}\\{y = - \dfrac{1}{5}}\end{array}} \right.} \right.\)
Cho các vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1; - 2} \right),\,\,\overrightarrow b = \left( { - 2; - 6} \right)\). Khi đó góc giữa chúng là
Ta có \(\overrightarrow a = \left( {1; - 2} \right),\,\,\overrightarrow b = \left( { - 2; - 6} \right)\), suy ra \(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \dfrac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \dfrac{{10}}{{\sqrt 5 .\sqrt {40} }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = {\rm{4}}{{\rm{5}}^{\rm{o}}}\)
Trong mặt phẳng $Oxy$ cho \(A\left( {1;2} \right),\;B\left( {4;1} \right),\;C\left( {5;4} \right)\). Tính \(\widehat {BAC}\)?
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 1} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( {4;2} \right)\).
Suy ra \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{AB.AC}} = \dfrac{{10}}{{\sqrt {10} .\sqrt {20} }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = {45^{\rm{o}}}\).
Cho hai điểm $A\left( { - 3,2} \right),{\rm{ }}B\left( {4,3} \right).$ Tìm điểm $M$ thuộc trục \(Ox\)và có hoành độ dương để tam giác $MAB$ vuông tại $M$
Ta có $A\left( { - 3,2} \right),{\rm{ }}B\left( {4,3} \right)$, gọi $M\left( {x;0} \right),x > 0$.
Khi đó $\overrightarrow {AM} = \left( {x + 3; - 2} \right)$, $\overrightarrow {BM} = \left( {x - 4; - 3} \right)$.
Theo YCBT $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x - 6 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\;\left( l \right)\\x = 3\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {3;0} \right)$.
Cho$A\left( {2;\;5} \right),\;B\left( {1;\;3} \right),\;C\left( {5;\; - 1} \right)$. Tìm tọa độ điểm \(K\) sao cho \(\overrightarrow {AK} = 3\overrightarrow {BC} + 2\overrightarrow {CK} \)
Gọi $K\left( {x;y} \right)$ với $x,y \in \mathbb{R}$.
Khi đó $\overrightarrow {AK} = \left( {x - 2;y - 5} \right)$, $3\overrightarrow {BC} = \left( {12; - 12} \right)$, $2\overrightarrow {CK} = \left( {2x - 10;2y + 2} \right)$.
Theo YCBT \(\overrightarrow {AK} = 3\overrightarrow {BC} + 2\overrightarrow {CK} \) nên $\left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 12 + 2x - 10\\y - 5 = - 12 + 2y + 2\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = 5\end{array} \right. \Rightarrow K\left( { - 4;5} \right)$
Cho $2$ vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) đều có độ dài bằng $1$ thỏa \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = 2\). Hãy xác định \(\left( {3\overrightarrow a - 4\overrightarrow b } \right)\left( {2\overrightarrow a + 5\overrightarrow b } \right)\)
\(\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right| = 1\),\(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = 2 \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 1\), \(\left( {3\overrightarrow a - 4\overrightarrow b } \right)\left( {2\overrightarrow a + 5\overrightarrow b } \right) = 6{\overrightarrow a ^2} - 20{\overrightarrow b ^2} + 7\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 7\).
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \)và \(\overrightarrow b \). Biết \(\left| {\overrightarrow a } \right|=2 ,\) \(\left| {\overrightarrow b } \right|=\sqrt 3\) và \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {120^{\rm{o}}}\). Tính\(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|\)
Ta có \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \sqrt[{}]{{{{\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)}^2}}} = \sqrt[{}]{{{{\overrightarrow a }^2} + {{\overrightarrow b }^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b }} = \sqrt[{}]{{{{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2} + 2\left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\;cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)}} = \sqrt {7 - 2\sqrt 3 } \)
Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho \(\overrightarrow a = \left( {1;3} \right),\;\overrightarrow b = \left( { - 2;1} \right)\). Tích vô hướng của 2 vectơ \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) là:
Ta có \(\overrightarrow a = \left( {1;3} \right),\overrightarrow b = \left( { - 2;1} \right)\), suy ra \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 1.\left( { - 2} \right) + 3.1 = 1\).
Cho các vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1; - 3} \right),\,\,\overrightarrow b = \left( {2;5} \right)\). Tính tích vô hướng của \(\overrightarrow a \left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right)\)
Ta có \(\overrightarrow a .\overrightarrow a = 10\), \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 13\) suy ra \(\overrightarrow a \left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right) = - 16\).
Trong mặt phẳng \(\left( {O;\overrightarrow i ,\overrightarrow j } \right)\) cho 2 vectơ : \(\overrightarrow a = 3\overrightarrow i + 6\overrightarrow j \) và \(\overrightarrow b = 8\overrightarrow i - 4\overrightarrow {j.} \) Kết luận nào sau đây sai?
\(\overrightarrow a = \left( {3;6} \right);\;\overrightarrow b = \left( {8; - 4} \right)\)
Phương án A:\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 24 - 24 = 0\) nên loại A
Phương án B:\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0\) suy ra \(\overrightarrow a \) vuông góc \(\overrightarrow b \)nên loại B
Phương án C:\(\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt[{}]{{{3^2} + {6^2}}}.\sqrt[{}]{{{8^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}}} \ne 0\) nên chọn C.
Cặp vectơ nào sau đây vuông góc?
Phương án A: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 2.\left( { - 3} \right) + \left( { - 1} \right).4 = - 10 \ne 0\) suy ra A sai.
Phương án B: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 3.\left( { - 3} \right) + \left( { - 4} \right).4 \ne 0\) suy ra B sai.
Phương án C: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 2.\left( { - 6} \right) - 3.4 = 0 \Rightarrow \overrightarrow a \bot \overrightarrow b \) suy ra C đúng.
Phương án D: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 7.3 + \left( { - 3} \right).\left( { - 7} \right) = 42 \ne 0\) suy ra D sai.
Cho 2 vec tơ \(\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right),\;\overrightarrow b = \left( {{b_1};{b_2}} \right)\), tìm biểu thức sai:
Phương án A : biểu thức tọa độ tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = {a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2}\) A đúng.
Phương án B : Công thức tích vô hướng của hai véc tơ $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$ nên B đúng.
Phương án C: \(\dfrac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {{a^2}} + \overrightarrow {{b^2}} - {{\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)}^2}} \right] = \dfrac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {{a^2}} + \overrightarrow {{b^2}} - \left( {\overrightarrow {{a^2}} + \overrightarrow {{b^2}} + 2\overrightarrow a \overrightarrow b } \right)} \right] = - \overrightarrow a \overrightarrow b \) nên C sai.
Trong mp \(Oxy\) cho \(A\left( {4;6} \right)\), \(B\left( {1;4} \right)\), \(C\left( {7;\dfrac{3}{2}} \right)\). Khẳng định nào sau đây sai
Phương án A: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( {3; - \dfrac{9}{2}} \right)\) nên A đúng.
Phương án B: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\) nên B đúng.
Phương án C : \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {13} \) nên C đúng.
Phương án D: Ta có \(\overrightarrow {BC} = \left( {6; - \dfrac{5}{2}} \right)\) suy ra $BC = \sqrt[{}]{{{6^2} + {{\left( {\dfrac{5}{2}} \right)}^2}}} = \dfrac{{13}}{2}$ nên D sai.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho hai vectơ \(\overrightarrow u = \dfrac{1}{2}\overrightarrow i - 5\overrightarrow j \) và \(\overrightarrow v = k\overrightarrow i - 4\overrightarrow j .\) Tìm \(k\) để vectơ \(\overrightarrow u \) vuông góc với \(\overrightarrow v .\)
Từ giả thiết suy ra \(\overrightarrow u = \left( {\dfrac{1}{2}; - 5} \right),\overrightarrow v = \left( {k; - 4} \right).\)
Yêu cầu bài toán: \(\overrightarrow u \bot \overrightarrow v \)\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}k + \left( { - 5} \right)\left( { - 4} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow k = - 40\)
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho ba vectơ \(\overrightarrow u = \left( {4;1} \right),{\rm{ }}\overrightarrow v = \left( {1;4} \right)\) và \(\overrightarrow a = \overrightarrow u + m.\overrightarrow v \) với \(m \in \mathbb{R}.\) Tìm \(m\) để \(\overrightarrow a \) vuông góc với trục hoành.
Ta có \(\overrightarrow a = \overrightarrow u + m.\overrightarrow v = \left( {4 + m;1 + 4m} \right).\) Trục hoành có vectơ đơn vị là \(\overrightarrow i = \left( {1;0} \right).\)
Vectơ \(\overrightarrow a \) vuông góc với trục hoành \( \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow i = 0 \Leftrightarrow 4 + m = 0 \Leftrightarrow m = - 4.\)
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) tính khoảng cách giữa hai điểm \(M\left( {1; - \,2} \right)\) và \(N\left( { - \,3;4} \right).\)
Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( { - \,4;6} \right)\) suy ra \(MN = \sqrt {{{\left( { - \,4} \right)}^2} + {6^2}} = \sqrt {42} = 2\sqrt {13} .\)
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho bốn điểm \(A\left( {7; - 3} \right),{\rm{ }}B\left( {8;4} \right),{\rm{ }}C\left( {1;5} \right)\) và \(D\left( {0; - 2} \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {1;7} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{1^2} + {7^2}} = 5\sqrt 2 \\\overrightarrow {BC} = \left( { - 7;1} \right) \Rightarrow BC = 5\sqrt 2 \\\overrightarrow {CD} = \left( { - 1; - 7} \right) \Rightarrow CD = 5\sqrt 2 \\\overrightarrow {DA} = \left( {7; - 1} \right) \Rightarrow DA = 5\sqrt 2 \end{array} \right.\)\( \Rightarrow AB = BC = CD = DA = 5\sqrt 2 \)
Lại có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = 1\left( { - 7} \right) + 7.1 = 0\) nên \(AB \bot BC\).
Từ đó suy ra \(ABCD\) là hình vuông.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( { - 1;1} \right),{\rm{ }}B\left( {1;3} \right)\) và \(C\left( {1; - 1} \right)\). Khẳng định nào sau đây là đúng ?
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;2} \right),\,\,\,\overrightarrow {BC} = \left( {0; - \,4} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( {2; - \,2} \right).\)
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}AB = AC = 2\sqrt 2 \\A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\end{array} \right..\)
Vậy tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A.\)
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {4;3} \right),\,\,B\left( {2;7} \right)\) và \(C\left( { - \,3; - \,8} \right).\) Tìm toạ độ chân đường cao \(A'\) kẻ từ đỉnh \(A\) xuống cạnh \(BC.\)
Gọi \(A'\left( {x;y} \right)\). Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AA'} = \left( {x - 4;y - 3} \right)\\\overrightarrow {BC} = \left( { - \,5; - \,15} \right)\\\overrightarrow {BA'} = \left( {x - 2;y - 7} \right)\end{array} \right..\)
Từ giả thiết, ta có \(A'\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BC\) nếu \(AA' \bot BC\) và \(B,A',C\) thẳng hàng
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {BC} = 0}&{\left( 1 \right)}\\{\overrightarrow {BA'} = k\overrightarrow {BC} }&{\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)
\( \bullet \) \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow - \,5\left( {x - 4} \right) - 15\left( {y - 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + 3y = 13\)
\( \bullet \) \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \dfrac{{x - 2}}{{ - 5}} = \dfrac{{y - 7}}{{ - 15}}\)\( \Leftrightarrow 3x - y = - 1\)
Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 13\\3x - y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 4\end{array} \right.\) \( \Rightarrow A'\left( {1;4} \right)\)
