Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {2;4} \right),{\rm{ }}B\left( { - 3;1} \right),\) \(C\left( {3; - 1} \right).\) Tìm tọa độ chân đường cao \(A'\) vẽ từ đỉnh \(A\) của tam giác đã cho.
Trả lời bởi giáo viên
Gọi \(A'\left( {x;y} \right).\) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AA'} = \left( {x - 2;y - 4} \right)\\\overrightarrow {BC} = \left( {6; - 2} \right)\\\overrightarrow {BA'} = \left( {x + 3;y - 1} \right)\end{array} \right..\)
Vì \(A'\) là chân đường cao vẽ từ đỉnh \(A\) của tam giác \(ABC\) nên \(AA' \bot BC\) và \(B,A',C\) thẳng hàng.
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {BC} = 0}\\{\overrightarrow {BA'} = k\overrightarrow {BC} }\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 2} \right).6 + \left( {y - 4} \right).\left( { - 2} \right) = 0\\\dfrac{{x + 3}}{6} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 2}}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{6x - 2y = 4}\\{ - 2x - 6y = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \dfrac{3}{5}}\\{y = - \dfrac{1}{5}}\end{array}} \right.} \right.\)
Hướng dẫn giải:
\(A'\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BC\) nếu \(AA' \bot BC\) và \(B,A',C\) thẳng hàng.