Giá trị của biểu thức A=sin4x+cos4x−14cos4x là:
Ta có A=sin4x+cos4x−14cos4x =(sin2x+cos2x)2−2sin2xcos2x−14cos4x
=1−12sin22x−14cos4x =1−14(1−cos4x)−14cos4x=34
Rút gọn biểu thức A=cos2x−sin2xcot2x−tan2x ta được.
Ta có: A=cos2x−sin2xcos2xsin2x−sin2xcos2x =cos2x−sin2xcos4x−sin4x.sin2xcos2x =sin2xcos2xsin2x+cos2x=14(2sinxcosx)2
=14sin22x.
C=sin(a+b)+sin(π2−a)sin(−b)=sinacosb+cosasinb−cosasinb=sinacosb
Rút gọn biểu thức A=sin2x+1cos2x ta được
Ta có: A=1+2sinxcosxcos2x−sin2x=sin2x+2sinxcosx+cos2xcos2x=(sinx+cosx)2(cosx−sinx)(cosx+sinx)
=sinx+cosxcosx−sinx=√2sin(x+π4)√2cos(x+π4)=tan(x+π4).
Biết rằng sin6x+cos6x=mcos4x+n(m,n∈Q). Tính tổng S=m+n.
Ta có sin6x+cos6x =(sin2x+cos2x)3 −3sin2xcos2x(sin2x+cos2x)
=1−3(12sin2x)2 =1−341−cos4x2=38cos4x+58 ⇒S=m+n=1
Nếu biết 3sin4x+2cos4x=9881 thì giá trị biểu thức A=2sin4x+3cos4x bằng
Ta có:
3sin4x+2cos4x=98812sin4x+3cos4x=A
Trừ vế cho vế hai đẳng thức trên ta được:
sin4x−cos4x=9881−A⇔(sin2x−cos2x)(sin2x+cos2x)=9881−A⇔sin2x−cos2x=9881−A⇔cos2x−sin2x=A−9881⇔cos2x=A−9881
Cộng vế với vế hai đẳng thức đầu bài ta được:
5sin4x+5cos4x=A+9881⇔5(sin4x+cos4x)=A+9881⇔5[(sin2x+cos2x)2−2sin2xcos2x]=A+9881⇔5(1−12.4sin2xcos2x)=A+9881⇔5(1−12sin22x)=A+9881⇔1−12sin22x=15(A+9881)⇔1−12(1−cos22x)=15(A+9881)⇔12+12cos22x=15(A+9881)⇔1+cos22x=25(A+9881)
Thay cos2x=A−9881 ta được:
1+(A−9881)2=25(A+9881) =25(A−9881)+392405
Đặt A−9881=t⇒t2−25t+13405=0⇔[t=1345t=19
+) t=1345⇒A=607405
+) t=19⇒A=10781.
Đẳng thức nào trong các đẳng thức sau là sai.
Ta có tana+tanb=sinacosa+sinbcosb =sinacosb+sinbcosacosacosb=sin(a+b)cosacosb suy ra A đúng
Tương tự ta có B đúng.
tana+cota=sinacosa+cosasina =sin2a+cos2asinacosa=2sin2a nên D đúng.
cota+cotb=cosasina+cosbsinb=sin(a+b)sinasinb nên C sai.
Ta có tam giác ABC vuông cân tại A và AB = 2, M là trung điểm AB
⇒MA=12AB=1;AC=AB=2⇒tan∠ACB=ABAC=1tan∠MCA=AMAC=12
Mặt khác tan∠ACB=tan∠MCA+tan∠MCB1−tan∠MCA.tan∠MCB
Hay 1=12+tan∠MCB1−12.tan∠MCB⇔1−12tan∠MCB=12+tan∠MCB
⇔32tan∠MCB=12⇔tan∠MCB=13
Cho cotα=−3√2 với π2<α<π. Khi đó giá trị tanα2+cotα2 bằng :
1sin2α=1+cot2α=1+18=19→sin2α=119→sinα=±1√19
Vì π2<α<π⇒sinα>0⇒sinα=1√19
Suy ra tanα2+cotα2=sin2α2+cos2α2sinα2cosα2=2sinα=2√19.
Hệ thức nào sai trong bốn hệ thức sau:
A đúng vì VT=tanx+tany1tanx+1tany=tanx.tany=VP
B đúng vì
VT=1+sina1−sina+1−sina1+sina−2 =(1+sina)2+(1−sina)21−sin2a−2 =2+2sin2acos2a−2=4tan2a=VP
C đúng vì VT=−sin2α−cos2αcos2α−sin2α=sin2α+cos2αsin2α−cos2α=1+cot2α1−cot2α=VP.
Cho góc lượng giác α thỏa mãn sinα=−13 và π<α<3π2. Tính sin2α.
Ta có: π<α<3π2⇒cosα<0
⇒cosα=−√1−sin2α=−√1−19=−√89=−2√23
⇒sin2α=2sinαcosα=2.(−13).(−2√23)=2.13.2√23=4√29
Ta có: sin2a=2sinacosa;cos2a=2cos2a−1=1−2sin2a=cos2a−sin2a.
Vậy B sai
cos2α=2cos2α−1=2.19−1=−79
sin2a=2sinacosa=2.1√2.√22=1
Cho các góc lượng giác a,b và T=cos(a+b)cos(a−b)−sin(a+b)sin(a−b). Mệnh đề nào sau đây đúng ?
Ta có: T=cos(a+b)cos(a−b)−sin(a+b)sin(a−b)=cos[(a+b)+(a−b)]=cos2a
Ta có: sinαcosβ+sinβcosα=sin(α+β)=sin90o=1
Biết rằng 12[cos(π3−2x)−cos(π2+2x)]−sinπ12.cos(π12+2x)=sin(ax+bπ) với mọi giá trị của góc lượng giác x ; trong đó a là số tự nhiên, b là số hữu tỉ thuộc [0;12]. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có: 12[cos(π3−2x)−cos(π2+2x)]−sinπ12.cos(π12+2x)=sin(ax+bπ)
⇔12.(−2).sin(π3−2x+π2+2x2).sin(π3−2x−π2−2x2)−sinπ12.cos(π12+2x)=sin(ax+bπ)⇔−sin5π12.sin(−π12−2x)−sinπ12.cos(π12+2x)=sin(ax+bπ)⇔sin(π2−π12).sin(π12+2x)−sinπ12.cos(π12+2x)=sin(ax+bπ)⇔cosπ12.sin(π12+2x)−sinπ12.cos(π12+2x)=sin(ax+bπ)⇔sin(π12+2x−π12)=sin(ax+bπ)⇔sin2x=sin(ax+bπ)⇒{a=2b=2k(k∈Z)Dob∈[0;12]⇒b=0⇒a+b=2.
Ta có: t=sinxcosx=tanx⇒1cos2x=1+tan2x=1+t2⇒cos2x=11+t2
Với x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \Rightarrow \cos x \ne 0 \Rightarrow {\cos ^2}x \ne 0. Chia cả 2 vế của biểu thức cho {\cos ^2}x \ne 0 ta được:
\dfrac{P}{{{{\cos }^2}x}} = 3.\dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + 2.\dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} - 1 \Leftrightarrow \left( {1 + {t^2}} \right)P = 3{t^2} + 2t - 1 \Leftrightarrow P = \dfrac{{3{t^2} + 2t - 1}}{{1 + {t^2}}}
\begin{array}{l}S = {\sin ^2}{5^o} + {\sin ^2}{10^o} + {\sin ^2}{15^o} + ... + {\sin ^2}{85^o}\\ = \left( {{{\sin }^2}{5^o} + {{\sin }^2}{{85}^o}} \right) + \left( {{{\sin }^2}{{10}^o} + {{\sin }^2}{{80}^o}} \right) + ... + \left( {{{\sin }^2}{{40}^o} + {{\sin }^2}{{50}^o}} \right) + {\sin ^2}{45^o}\\ = \left( {{{\sin }^2}{5^o} + {{\cos }^2}{5^o}} \right) + \left( {{{\sin }^2}{{10}^o} + {{\cos }^2}{{10}^o}} \right) + ... + \left( {{{\sin }^2}{{40}^o} + {{\cos }^2}{{40}^o}} \right) + {\sin ^2}{45^o}\\ = 8 + {\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = 8 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{{17}}{2}.\end{array}