Một số công thức biến đổi lượng giác

  •   
Câu 21 Trắc nghiệm

Giá trị của biểu thức A=sin4x+cos4x14cos4x là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Ta có A=sin4x+cos4x14cos4x =(sin2x+cos2x)22sin2xcos2x14cos4x

=112sin22x14cos4x =114(1cos4x)14cos4x=34

Câu 22 Trắc nghiệm
Rút gọn biểu thức A=sinx+sin3x+sin5xcosx+cos3x+cos5x được: 
Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a
A=sinx+sin3x+sin5xcosx+cos3x+cos5x=(sinx+sin5x)+sin3x(cosx+cos5x)+cos3x=2sin3x.cos2x+sin3x2cos3x.cos2x+cos3x=sin3x(2cos2x+1)cos3x(2cos2x+1)=sin3xcos3x=tan3x.
Câu 23 Trắc nghiệm

Rút gọn biểu thức A=cos2xsin2xcot2xtan2x ta được.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Ta có: A=cos2xsin2xcos2xsin2xsin2xcos2x =cos2xsin2xcos4xsin4x.sin2xcos2x =sin2xcos2xsin2x+cos2x=14(2sinxcosx)2

=14sin22x.

Câu 24 Trắc nghiệm
Rút gọn biểu thức C=sin(a+b)+sin(π2a)sin(b) được : 
Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

C=sin(a+b)+sin(π2a)sin(b)=sinacosb+cosasinbcosasinb=sinacosb

Câu 25 Trắc nghiệm

Rút gọn biểu thức A=sin2x+1cos2x ta được

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có: A=1+2sinxcosxcos2xsin2x=sin2x+2sinxcosx+cos2xcos2x=(sinx+cosx)2(cosxsinx)(cosx+sinx)

=sinx+cosxcosxsinx=2sin(x+π4)2cos(x+π4)=tan(x+π4).

Câu 26 Trắc nghiệm

Biết rằng sin6x+cos6x=mcos4x+n(m,nQ). Tính tổng S=m+n.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta có sin6x+cos6x =(sin2x+cos2x)3 3sin2xcos2x(sin2x+cos2x)

=13(12sin2x)2 =1341cos4x2=38cos4x+58 S=m+n=1

Câu 27 Trắc nghiệm

Nếu biết 3sin4x+2cos4x=9881 thì giá trị biểu thức A=2sin4x+3cos4x bằng

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta có:

3sin4x+2cos4x=98812sin4x+3cos4x=A

Trừ vế cho vế hai đẳng thức trên ta được:

sin4xcos4x=9881A(sin2xcos2x)(sin2x+cos2x)=9881Asin2xcos2x=9881Acos2xsin2x=A9881cos2x=A9881

Cộng vế với vế hai đẳng thức đầu bài ta được:

5sin4x+5cos4x=A+98815(sin4x+cos4x)=A+98815[(sin2x+cos2x)22sin2xcos2x]=A+98815(112.4sin2xcos2x)=A+98815(112sin22x)=A+9881112sin22x=15(A+9881)112(1cos22x)=15(A+9881)12+12cos22x=15(A+9881)1+cos22x=25(A+9881)

Thay cos2x=A9881 ta được:

1+(A9881)2=25(A+9881) =25(A9881)+392405

Đặt A9881=tt225t+13405=0[t=1345t=19

+) t=1345A=607405

+) t=19A=10781.

Câu 28 Trắc nghiệm

Đẳng thức nào trong các đẳng thức sau là sai.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Ta có tana+tanb=sinacosa+sinbcosb =sinacosb+sinbcosacosacosb=sin(a+b)cosacosb suy ra A đúng

Tương tự ta có B đúng.

tana+cota=sinacosa+cosasina =sin2a+cos2asinacosa=2sin2a nên D đúng.

cota+cotb=cosasina+cosbsinb=sin(a+b)sinasinb nên C sai.

Câu 29 Trắc nghiệm
Cho tam giác ABC vuông cân tại A và  AB=2.  là trung điểm AB. Khi đótanMCBbằng:
Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Ta có tam giác ABC vuông cân tại A AB = 2, là trung điểm AB

MA=12AB=1;AC=AB=2tanACB=ABAC=1tanMCA=AMAC=12 

Mặt khác tanACB=tanMCA+tanMCB1tanMCA.tanMCB

Hay 1=12+tanMCB112.tanMCB112tanMCB=12+tanMCB

32tanMCB=12tanMCB=13

Câu 30 Trắc nghiệm

Cho cotα=32 với π2<α<π. Khi đó giá trị tanα2+cotα2  bằng :

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

1sin2α=1+cot2α=1+18=19sin2α=119sinα=±119

Vì  π2<α<πsinα>0sinα=119

Suy ra tanα2+cotα2=sin2α2+cos2α2sinα2cosα2=2sinα=219.

Câu 31 Trắc nghiệm

Hệ thức nào sai trong bốn hệ thức sau:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

A đúng vì VT=tanx+tany1tanx+1tany=tanx.tany=VP

B đúng vì

VT=1+sina1sina+1sina1+sina2 =(1+sina)2+(1sina)21sin2a2 =2+2sin2acos2a2=4tan2a=VP

C đúng vì VT=sin2αcos2αcos2αsin2α=sin2α+cos2αsin2αcos2α=1+cot2α1cot2α=VP.

Câu 32 Trắc nghiệm

Cho góc lượng giác α thỏa mãn sinα=13π<α<3π2. Tính sin2α.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Ta có: π<α<3π2cosα<0

cosα=1sin2α=119=89=223

sin2α=2sinαcosα=2.(13).(223)=2.13.223=429

Câu 33 Trắc nghiệm
Mệnh đề nào sau đây sai?
Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Ta có: sin2a=2sinacosa;cos2a=2cos2a1=12sin2a=cos2asin2a.

Vậy B sai

Câu 34 Trắc nghiệm
Cho cosα=13. Tính giá trị của cos2α.
Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

cos2α=2cos2α1=2.191=79            

Câu 35 Trắc nghiệm
Cho sina=12,cosa=22. Tính giá trị của sin2a.
Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

sin2a=2sinacosa=2.12.22=1

Câu 36 Trắc nghiệm

Cho các góc lượng giác a,bT=cos(a+b)cos(ab)sin(a+b)sin(ab). Mệnh đề nào sau đây đúng ?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Ta có: T=cos(a+b)cos(ab)sin(a+b)sin(ab)=cos[(a+b)+(ab)]=cos2a

Câu 37 Trắc nghiệm
Cho hai góc α,βα+β=900. Tính giá trị của biểu thức: sinαcosβ+sinβcosα.
Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Ta có: sinαcosβ+sinβcosα=sin(α+β)=sin90o=1

Câu 38 Trắc nghiệm

Biết rằng 12[cos(π32x)cos(π2+2x)]sinπ12.cos(π12+2x)=sin(ax+bπ) với mọi giá trị của góc lượng giác x ; trong đó a là số tự nhiên, b là số hữu tỉ thuộc [0;12]. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Ta có: 12[cos(π32x)cos(π2+2x)]sinπ12.cos(π12+2x)=sin(ax+bπ)

12.(2).sin(π32x+π2+2x2).sin(π32xπ22x2)sinπ12.cos(π12+2x)=sin(ax+bπ)sin5π12.sin(π122x)sinπ12.cos(π12+2x)=sin(ax+bπ)sin(π2π12).sin(π12+2x)sinπ12.cos(π12+2x)=sin(ax+bπ)cosπ12.sin(π12+2x)sinπ12.cos(π12+2x)=sin(ax+bπ)sin(π12+2xπ12)=sin(ax+bπ)sin2x=sin(ax+bπ){a=2b=2k(kZ)Dob[0;12]b=0a+b=2.

Câu 39 Trắc nghiệm
Cho biểu thức P=3sin2x+2sinx.cosxcos2x(xπ2+kπ,kZ), nếu đặt t=sinxcosx thì biểu thức P được viết theo t là biểu thức nào dưới đây ?
Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Ta có: t=sinxcosx=tanx1cos2x=1+tan2x=1+t2cos2x=11+t2

Với x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi  \Rightarrow \cos x \ne 0 \Rightarrow {\cos ^2}x \ne 0. Chia cả 2 vế của biểu thức cho {\cos ^2}x \ne 0 ta được:

\dfrac{P}{{{{\cos }^2}x}} = 3.\dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + 2.\dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} - 1 \Leftrightarrow \left( {1 + {t^2}} \right)P = 3{t^2} + 2t - 1 \Leftrightarrow P = \dfrac{{3{t^2} + 2t - 1}}{{1 + {t^2}}} 

Câu 40 Trắc nghiệm
Tính tổng S = {\sin ^2}{5^o} + {\sin ^2}{10^o} + {\sin ^2}{15^o} + ... + {\sin ^2}{85^o}.
Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

\begin{array}{l}S = {\sin ^2}{5^o} + {\sin ^2}{10^o} + {\sin ^2}{15^o} + ... + {\sin ^2}{85^o}\\ = \left( {{{\sin }^2}{5^o} + {{\sin }^2}{{85}^o}} \right) + \left( {{{\sin }^2}{{10}^o} + {{\sin }^2}{{80}^o}} \right) + ... + \left( {{{\sin }^2}{{40}^o} + {{\sin }^2}{{50}^o}} \right) + {\sin ^2}{45^o}\\ = \left( {{{\sin }^2}{5^o} + {{\cos }^2}{5^o}} \right) + \left( {{{\sin }^2}{{10}^o} + {{\cos }^2}{{10}^o}} \right) + ... + \left( {{{\sin }^2}{{40}^o} + {{\cos }^2}{{40}^o}} \right) + {\sin ^2}{45^o}\\ = 8 + {\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = 8 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{{17}}{2}.\end{array}