Giá trị nhỏ nhất của đa thức $T = x\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right)\left( {x - 7} \right)$ là

Ta có:

$\begin{array}{l}T = x\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right)\left( {x - 7} \right)\\T = x\left( {x - 7} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right)\\T = \left( {{x^2} - 7x} \right)\left( {{x^2} - 7x + 12} \right)\\T = {\left( {{x^2} - 7x} \right)^2} + 12\left( {{x^2} - 7x} \right)\\T = {\left( {{x^2} - 7x} \right)^2} + 2.\left( {{x^2} - 7x} \right).6 + 36 - 36\\T = {\left( {{x^2} - 7x} \right)^2} + 2.\left( {{x^2} - 7x} \right).6 + 36 - 36\\T = {\left( {{x^2} - 7x + 6} \right)^2} - 36\end{array}$

Với mọi $x \in \mathbb{R}$ ta có:

$\begin{array}{l}{\left( {{x^2} - 7x + 6} \right)^2} \ge 0\\ \Rightarrow {\left( {{x^2} - 7x + 6} \right)^2} - 36 \ge  - 36\\ \Rightarrow T \ge  - 36\end{array}$

Dấu “$=$” xảy ra $\Leftrightarrow {x^2} - 7x + 6 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 6\end{array} \right.$

Vậy $\min T =  - 36 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 6\end{array} \right.$.