Giá trị nhỏ nhất của đa thức \(T = x\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right)\left( {x - 7} \right)\) là

Ta có:

\(\begin{array}{l}T = x\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right)\left( {x - 7} \right)\\T = x\left( {x - 7} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right)\\T = \left( {{x^2} - 7x} \right)\left( {{x^2} - 7x + 12} \right)\\T = {\left( {{x^2} - 7x} \right)^2} + 12\left( {{x^2} - 7x} \right)\\T = {\left( {{x^2} - 7x} \right)^2} + 2.\left( {{x^2} - 7x} \right).6 + 36 - 36\\T = {\left( {{x^2} - 7x} \right)^2} + 2.\left( {{x^2} - 7x} \right).6 + 36 - 36\\T = {\left( {{x^2} - 7x + 6} \right)^2} - 36\end{array}\)

Với mọi \(x \in \mathbb{R}\) ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {{x^2} - 7x + 6} \right)^2} \ge 0\\ \Rightarrow {\left( {{x^2} - 7x + 6} \right)^2} - 36 \ge  - 36\\ \Rightarrow T \ge  - 36\end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 6 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 6\end{array} \right.\)

Vậy \(\min T =  - 36 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 6\end{array} \right.\).