Tổng tất cả các giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(M = \sqrt {x + 4\sqrt {x - 1}  + 3}\)\(+ \sqrt {x - 4\sqrt {x - 1}  + 3} \) đạt giá trị nhỏ nhất là

Điều kiện: \(x\ge1\)

Ta có:

$M = \sqrt {x + 4\sqrt {x - 1}  + 3}  $$+ \sqrt {x - 4\sqrt {x - 1}  + 3}$

$M = \sqrt {x - 1 + 2.\sqrt {x - 1} .2 + {2^2}}  $$+ \sqrt {x - 1 - 2.\sqrt {x - 1} .2 + {2^2}}$

$M = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1}  + 2} \right)}^2}} $$ + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1}  - 2} \right)}^2}} $

\(\begin{array}{l}M = \left| {\sqrt {x - 1}  + 2} \right| + \left| {\sqrt {x - 1}  - 2} \right|\\M=\left| {\sqrt {x - 1}  + 2} \right| + \left| {2 - \sqrt {x - 1} } \right| \end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {\sqrt {x - 1}  + 2} \right| + \left| {2 - \sqrt {x - 1} } \right| \\\ge \left| {\sqrt {x - 1}  + 2 + 2 - \sqrt {x - 1} } \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\sqrt {x - 1}  + 2} \right| + \left| {2 - \sqrt {x - 1} } \right| \ge 4\end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(\left( {\sqrt {x - 1}  + 2} \right)\left( {2 - \sqrt {x - 1} } \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 1}  + 2 \ge 0\\2 - \sqrt {x - 1}  \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 1}  + 2 \le 0\\2 - \sqrt {x - 1}  \le 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow  - 2 \le \sqrt {x - 1}  \le 2\).

Mà \(\sqrt {x - 1}  \ge 0\) nên \(0 \le \sqrt {x - 1}  \le 2\).

\( \Rightarrow 0 \le x - 1 \le 4\)

\( \Rightarrow 1 \le x \le 5\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{Z}\\1 \le x \le 5\end{array} \right. \Rightarrow x \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5} \right\}\)

Tổng tất cả các giá trị của \(x\) là: \(1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15\)