Cho hàm số: $f\left( x \right) = \dfrac{4}{x} + \dfrac{x}{{1 - x}}$ với $1 > x > 0.$ Khẳng định nào sau đây là đúng?

Vì $1 > x > 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\1 - x > 0\end{array} \right.$$\Rightarrow \dfrac{x}{{1 - x}} > 0$.

$\begin{array}{l}f\left( x \right) - 4 = \dfrac{4}{x} + \dfrac{x}{{1 - x}} - 4\\\, = \dfrac{4}{x} + \dfrac{x}{{1 - x}} - \dfrac{{4x}}{x}\\\,= \dfrac{{4.\left( {1 - x} \right)}}{x} + \dfrac{x}{{1 - x}}\end{array}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương $\dfrac{{4.\left( {1 - x} \right)}}{x}$ và $\dfrac{x}{{1 - x}}$ ta có:

$\begin{array}{l}f\left( x \right) - 4 = \dfrac{{4.\left( {1 - x} \right)}}{x} + \dfrac{x}{{1 - x}}\\ \ge 2\sqrt {\dfrac{{4.\left( {1 - x} \right)}}{x} \cdot \dfrac{x}{{1 - x}}} \\ \Leftrightarrow f\left( x \right) - 4 = \dfrac{{4.\left( {1 - x} \right)}}{x} + \dfrac{x}{{1 - x}} \ge 4\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 4 + 4\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 8\end{array}$

Dấu “$=$” xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > x > 0\\\dfrac{{4\left( {1 - x} \right)}}{x} = \dfrac{x}{{1 - x}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > x > 0\\4{\left( {1 - x} \right)^2} = {x^2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > x > 0\\3{x^2} - 8x + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}$

Vậy $\min f\left( x \right) = 8 \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}$.