Gọi \({x_0},\,\,{y_0}\) là hai giá trị để biểu thức \(A =  - {x^2} - {y^2} + xy + 2x + 2y\) đạt giá trị lớn nhất. Giá trị của biểu thức \(3{x_0} + 2{y_0}\) là

Ta có:

\(\begin{array}{l}A =  - {x^2} - {y^2} + xy + 2x + 2y\\ \Rightarrow  - 2A = 2{x^2} + 2{y^2} - 2xy - 4x - 4y\\ \Leftrightarrow  - 2A = {x^2} - 2xy + {y^2} + {x^2} - 4x + 4 + {y^2} - 4y + 4 - 8\\ \Leftrightarrow  - 2A = {\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} - 8\\ \Leftrightarrow A =  - \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2} - 8} \right]\end{array}\)

Với mọi \(x,\,\,y \in R\) ta có:

\({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\); \({\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0\); \({\left( {y - 2} \right)^2} \ge 0\)

\( \Rightarrow {\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} \ge 0\)

\( \Rightarrow {\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} - 8 \ge  - 8\)

\( \Rightarrow  - \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2} - 8} \right] \le 4\)

\( \Rightarrow A \le 4\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 0\\x - 2 = 0\\y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 2\)

\( \Rightarrow \max A = 4 \Leftrightarrow {x_0} = {y_0} = 2\)

Thay \({x_0} = {y_0} = 2\) vào biểu thức \(3{x_0} + 2{y_0}\) ta được: \(3.2 + 2.2 = 10\)