Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hai số dương \(x,\,\,y\) thay đổi thỏa mãn điều kiện \(x + y = 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = xy + \dfrac{1}{{xy}}\).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(x,y\) ta có:
\(xy \le {\left( {\dfrac{{x + y}}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow xy \le \dfrac{1}{4}\)\( \Leftrightarrow xy \le \dfrac{1}{4}\)
\(P = xy + \dfrac{1}{{xy}} = \left( {xy + \dfrac{1}{{16xy}}} \right) + \dfrac{{15}}{{16xy}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(xy\) và \(\dfrac{1}{{16xy}}\) ta có:
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {xy + \dfrac{1}{{16xy}}} \right) \ge 2\sqrt {xy \cdot \dfrac{1}{{16xy}}} \\ \Rightarrow \left( {xy + \dfrac{1}{{16xy}}} \right) + \dfrac{{15}}{{16xy}}\\ \ge 2\sqrt {xy \cdot \dfrac{1}{{16xy}}} + \dfrac{{15}}{{16xy}}\\ \Leftrightarrow \left( {xy + \dfrac{1}{{16xy}}} \right) + \dfrac{{15}}{{16xy}} \ge \dfrac{1}{2} + \dfrac{{15}}{{16}} \cdot \dfrac{1}{{xy}}\\ \Leftrightarrow \left( {xy + \dfrac{1}{{16xy}}} \right) + \dfrac{{15}}{{16xy}} \ge \dfrac{1}{2} + \dfrac{{15}}{{16}} \cdot 4\\ \Leftrightarrow \left( {xy + \dfrac{1}{{16xy}}} \right) + \dfrac{{15}}{{16xy}} \ge \dfrac{{17}}{4}\end{array}\)
Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = \dfrac{1}{2}\).
Vậy \(\min P = \dfrac{{17}}{4} \Leftrightarrow x = y = \dfrac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải:
Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cô-si: \(xy \le {\left( {\dfrac{{x + y}}{2}} \right)^2}\)
\(P = xy + \dfrac{1}{{xy}} = \left( {xy + \dfrac{1}{{16xy}}} \right) + \dfrac{{15}}{{16xy}}\)
Câu hỏi khác
- Bài tập bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn toán 10 có lời giải
- Bài tập bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn toán 10 có lời giải
- Bài tập bất đẳng thức toán 10 có lời giải
- Bài tập dấu của nhị thức bậc nhất toán 10 có lời giải
- Bài tập đại cương về bất phương trình toán 10 có lời giải
