Cho hai số dương \(x,\,\,y\) thay đổi thỏa mãn điều kiện \(x + y = 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = xy + \dfrac{1}{{xy}}\).

Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(x,y\) ta có:

\(xy \le {\left( {\dfrac{{x + y}}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow xy \le \dfrac{1}{4}\)\( \Leftrightarrow xy \le \dfrac{1}{4}\)

\(P = xy + \dfrac{1}{{xy}} = \left( {xy + \dfrac{1}{{16xy}}} \right) + \dfrac{{15}}{{16xy}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(xy\) và \(\dfrac{1}{{16xy}}\) ta có:

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {xy + \dfrac{1}{{16xy}}} \right) \ge 2\sqrt {xy \cdot \dfrac{1}{{16xy}}} \\ \Rightarrow \left( {xy + \dfrac{1}{{16xy}}} \right) + \dfrac{{15}}{{16xy}}\\ \ge 2\sqrt {xy \cdot \dfrac{1}{{16xy}}}  + \dfrac{{15}}{{16xy}}\\ \Leftrightarrow \left( {xy + \dfrac{1}{{16xy}}} \right) + \dfrac{{15}}{{16xy}} \ge \dfrac{1}{2} + \dfrac{{15}}{{16}} \cdot \dfrac{1}{{xy}}\\ \Leftrightarrow \left( {xy + \dfrac{1}{{16xy}}} \right) + \dfrac{{15}}{{16xy}} \ge \dfrac{1}{2} + \dfrac{{15}}{{16}} \cdot 4\\ \Leftrightarrow \left( {xy + \dfrac{1}{{16xy}}} \right) + \dfrac{{15}}{{16xy}} \ge \dfrac{{17}}{4}\end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = \dfrac{1}{2}\).

Vậy \(\min P = \dfrac{{17}}{4} \Leftrightarrow x = y = \dfrac{1}{2}\).