Cho $x > 8y > 0$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F = x + \dfrac{1}{{y\left( {x - 8y} \right)}}$ là

Ta có:

$\begin{array}{l}F = x + \dfrac{1}{{y\left( {x - 8y} \right)}}\\ = x - 8y + 8y + \dfrac{1}{{y\left( {x - 8y} \right)}}\\ = \left( {x - 8y} \right) + 8y + \dfrac{1}{{y\left( {x - 8y} \right)}}\end{array}$

Vì $x > 8y > 0$ nên $x - 8y > 0$.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương $x - 8y$, $8y$, $y\left( {x - 8y} \right)$ ta có:

$\begin{array}{l}F = \left( {x - 8y} \right) + 8y + \dfrac{1}{{y\left( {x - 8y} \right)}}\\ \ge 3.\sqrt[3]{{\left( {x - 8y} \right).8y.\dfrac{1}{{y\left( {x - 8y} \right)}}}}\\ \Leftrightarrow F = \left( {x - 8y} \right) + 8y + \dfrac{1}{{y\left( {x - 8y} \right)}} \ge 6\end{array}$

Dấu “$=$” xảy ra khi và chỉ khi $x - 8y = 8y = \dfrac{1}{{y\left( {x - 8y} \right)}}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = \dfrac{1}{4}\end{array} \right.$

Vậy $\min F = 6 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = \dfrac{1}{4}\end{array} \right.$.