Cho \(x > 8y > 0\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = x + \dfrac{1}{{y\left( {x - 8y} \right)}}\) là

Ta có:

\(\begin{array}{l}F = x + \dfrac{1}{{y\left( {x - 8y} \right)}}\\ = x - 8y + 8y + \dfrac{1}{{y\left( {x - 8y} \right)}}\\ = \left( {x - 8y} \right) + 8y + \dfrac{1}{{y\left( {x - 8y} \right)}}\end{array}\)

Vì \(x > 8y > 0\) nên \(x - 8y > 0\).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương \(x - 8y\), \(8y\), \(y\left( {x - 8y} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}F = \left( {x - 8y} \right) + 8y + \dfrac{1}{{y\left( {x - 8y} \right)}}\\ \ge 3.\sqrt[3]{{\left( {x - 8y} \right).8y.\dfrac{1}{{y\left( {x - 8y} \right)}}}}\\ \Leftrightarrow F = \left( {x - 8y} \right) + 8y + \dfrac{1}{{y\left( {x - 8y} \right)}} \ge 6\end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(x - 8y = 8y = \dfrac{1}{{y\left( {x - 8y} \right)}}\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\)

Vậy \(\min F = 6 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\).