Cho biểu thức \(P = \dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}}\) với \(a,\,\,b\) dương và \(a + b = 1\).

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Ta có: \(a,\,\,b > 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} > 0\\ab > 0\end{array} \right.\)

\(P = \dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}}\)\( = \dfrac{1}{{2ab}} + \dfrac{1}{{2ab}} + \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\dfrac{1}{{2ab}}\) và \(\dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}}\) , ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{2ab}} + \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}} \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{{2ab\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}} \\ \Rightarrow \dfrac{1}{{2ab}} + \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{1}{{2ab}} \ge \dfrac{1}{{2ab}} + 2\sqrt {\dfrac{1}{{2ab\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}} \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{2ab}} + \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{1}{{2ab}} \ge \dfrac{2}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + 2\sqrt {\dfrac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}} \end{array}\)

Mà \(a + b = 1\) \( \Rightarrow \dfrac{1}{{2ab}} + \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{1}{{2ab}} \ge 6\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = \dfrac{1}{2}\).

Vậy \(\min P = 6 \Leftrightarrow a = b = \dfrac{1}{2}\).