Câu hỏi:
2 năm trước
Cho biểu thức \(P = \dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}}\) với \(a,\,\,b\) dương và \(a + b = 1\).
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Ta có: \(a,\,\,b > 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} > 0\\ab > 0\end{array} \right.\)
\(P = \dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}}\)\( = \dfrac{1}{{2ab}} + \dfrac{1}{{2ab}} + \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\dfrac{1}{{2ab}}\) và \(\dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}}\) , ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{2ab}} + \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}} \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{{2ab\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}} \\ \Rightarrow \dfrac{1}{{2ab}} + \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{1}{{2ab}} \ge \dfrac{1}{{2ab}} + 2\sqrt {\dfrac{1}{{2ab\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}}} \\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{2ab}} + \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{1}{{2ab}} \ge \dfrac{2}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} + 2\sqrt {\dfrac{4}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}} \end{array}\)
Mà \(a + b = 1\) \( \Rightarrow \dfrac{1}{{2ab}} + \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{1}{{2ab}} \ge 6\)
Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = \dfrac{1}{2}\).
Vậy \(\min P = 6 \Leftrightarrow a = b = \dfrac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải:
\(a,\,\,b > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} > 0\\ab > 0\end{array} \right.\)
Biến đổi \(P = \dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}}\)\( = \dfrac{1}{{2ab}} + \dfrac{1}{{2ab}} + \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}}\) sau đó sử dụng bất đẳng thức Cô-si để đánh giá \( \dfrac{1}{{2ab}} \) và \(\dfrac{1}{{2ab}} + \dfrac{1}{{{a^2} + {b^2}}}\)
Câu hỏi khác
- Bài tập bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn toán 10 có lời giải
- Bài tập bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn toán 10 có lời giải
- Bài tập bất đẳng thức toán 10 có lời giải
- Bài tập dấu của nhị thức bậc nhất toán 10 có lời giải
- Bài tập đại cương về bất phương trình toán 10 có lời giải
