Câu hỏi:
2 năm trước
Cho các số thực \(x,\,\,y\) thỏa mãn \(x - 2y + 2 = 2\left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt {3 - 2y} } \right)\). Gọi \(M,\,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = x - 2y\). Tính \(M + m\).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\3 - 2y \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\y \le \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\)
*) Tìm GTNN
\({\left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt {3 - 2y} } \right)^2}\)\( = x - 2y + 2 + 2\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {3 - 2y} \right)} \)
Ta có: \(x - 2y + 2 = 2\sqrt {x - 2y + 2 + 2\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {3 - 2y} \right)} } \ge 2\sqrt {x - 2y + 2} \ge 0\)
\( \Rightarrow S = x - 2y \ge - 2\)
Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(x = 1\); \(y = \dfrac{3}{2}\)
\( \Rightarrow {\mathop{\rm m}\nolimits} = \min S = - 2\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\)
*) Tìm GTLN
Ta có:
\(\begin{array}{l}x - 2y + 2 = 2\left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt {3 - 2y} } \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2y + 2} \right)^2} = 4{\left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt {3 - 2y} } \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2y + 2} \right)^2} = 4{\left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt {3 - 2y} } \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2y + 2} \right)^2} = 4\left( {x - 1 + 3 - 2y + 2\sqrt {x - 1} .\sqrt {3 - 2y} } \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2y + 2} \right)^2} = 4\left( {x - 2y + 2 + 2\sqrt {x - 1} .\sqrt {3 - 2y} } \right) \le 4\left( {x - 2y + 2 + x - 2y + 2} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2y + 2} \right)^2} \le 8\left( {x - 2y + 2} \right)\\ \Leftrightarrow x - 2y + 2 \le 8\\ \Leftrightarrow x - 2y \le 6\\ \Leftrightarrow S \le 6\end{array}\)
Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 3 - 2y\\x - 2y = 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 4\\x - 2y = 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow M = \max \,S = 6\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)
Vậy \(M + m = 6 + \left( { - 2} \right) = 4\).
Hướng dẫn giải:
+) Tìm GTNN biểu thức \(x - 2y + 2\): Khai triển \({\left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt {3 - 2y} } \right)^2}\)
+) Tìm GTNN của \(S\).
+) Tìm GTLN của biểu thức \(x - 2y + 2\): Bình phương hai vế của đẳng thức \(x - 2y + 2 = 2\left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt {3 - 2y} } \right)\)
+) Tìm GTLN của \(S\).
Câu hỏi khác
- Bài tập bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn toán 10 có lời giải
- Bài tập bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn toán 10 có lời giải
- Bài tập bất đẳng thức toán 10 có lời giải
- Bài tập dấu của nhị thức bậc nhất toán 10 có lời giải
- Bài tập đại cương về bất phương trình toán 10 có lời giải
